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第1章 空间与形式1

1抽象向量空间1

1.论据与公理系统1

2.线性包络，子空间3

3.关于几何解释的说明5

习题6

2维数与基底7

1.线性相关性7

2.向量空间的维数与它的基底8

3.坐标，空间的同构10

4.子空间的交集与和13

5.直和15

6.商空间18

习题19

3对偶空间20

1.线性函数20

2.对偶空间与对偶基底21

3.自反性23

4.线性无关性的判别法24

5.齐次线性方程组解的几何解释25

习题26

4双线性型和二次型26

1.多重线性映射26

2.双线性型28

3.双线性型的矩阵的转换规则28

4.对称型与斜对称型29

5.二次型30

6.二次型的规范型32

7.实二次型34

8.正定型与正定矩阵35

9.斜对称二次型的规范型38

10.普法夫型41

习题42

第2章 线性算子44

1 向量空间的线性映射44

1.线性映射语言44

2.用矩阵给定线性映射45

3.核与像的维数47

习题48

2线性算子代数48

1.定义与例子48

2.算子代数49

3.线性算子在不同基底之下的矩阵52

4.线性算子的行列式与迹54

习题56

3不变子空间与特征向量57

1.投影57

2.不变子空间58

3.特征向量，特征多项式60

4.可对角化的判别准则62

5.不变子空间的存在性64

6.共轭线性算子64

7.商算子66

习题67

4若尔当标准型68

1.哈密顿-凯莱定理68

2.若尔当标准型：定理与推论71

3.根子空间71

4.幂零算子的情形74

5.唯一性75

6.化若尔当标准型的其他方法78

7.其他的标准型80

习题81

第3章 带有纯量乘积的向量空间84

1欧几里得向量空间84

1.直观理解与定义84

2.基本的度量概念86

3.正交化过程88

4.欧几里得向量空间的同构90

5.标准正交基底与正交矩阵92

6.辛空间93

习题96

2埃尔米特向量空间97

1.埃尔米特型97

2.度量关系98

3.正交性100

4.酉矩阵101

5.可赋范的向量空间102

习题104

3 带有纯量乘积的空间上的线性算子105

1.线性算子与θ线性型之间的关系105

2.线性算子的类型106

3.埃尔米特算子的规范形式109

4.把二次型化到主轴上去111

5.把两个二次型同时化为规范型112

6.保距算子的规范形式113

7.正规算子116

8.正定算子119

9.极化分解121

习题122

4 复化与实化123

1.复结构123

2.实化125

3.复化127

4.复化—实化—复化129

习题131

5 正交多项式131

1.逼近问题131

2.最小二乘法132

3.线性方程组与最小二乘法134

4.三角多项式136

5.关于自共轭算子的说明137

6.勒让德多项式（球面多项式）139

7.加权正交143

8.（第一类）切比雪夫多项式143

9.埃尔米特多项式144

习题145

第4章 仿射空间与欧几里得点空间147

1 仿射空间147

1.仿射空间的定义147

2.同构149

3.坐标149

4.仿射子空间151

5.重心坐标153

6.仿射线性函数与线性方程组156

7.平面位置关系158

习题159

2 欧几里得（点）空间160

1.欧几里得度量160

2.点到平面的距离161

3.平面间的距离163

4.格拉姆行列式与平行六面体的体积163

习题165

3 群与几何165

1.仿射群165

2.欧几里得空间的运动168

3.保距变换群170

4.与群对应的线性几何173

5.欧几里得空间的仿射变换175

6.凸集176

习题179

4 带有指数有限度量的空间179

1.指数有限度量179

2.伪欧几里得运动180

3.洛伦茨群180

4.真洛伦茨群182

习题185

第5章 二次曲面187

1二次函数187

1.仿射空间上的二次函数187

2.二次函数的中心点188

3.把二次函数化成规范型190

4.欧几里得空间上的二次函数191

习题194

2仿射空间与欧几里得空间中的二次曲面194

1.二次曲面的一般概念194

2.二次曲面的中心196

3.仿射空间中的二次曲面的规范型（典范型）197

4.二次曲面的类型199

5.欧几里得空间中的二次曲面201

习题204

3射影空间205

1.射影平面的模型205

2.任意维的射影空间207

3.齐次坐标208

4.仿射图209

5.代数（流形）簇的概念210

6.射影群212

7.射影几何214

8.重比（交比）216

9.重比的坐标表达式218

习题220

4 射影空间的二次曲面221

1.分类221

2.射影二次曲面的例子与表现222

3.直线与射影二次曲面的交224

4.关于射影二次曲面的一般说明224

习题225

第6章 张量226

1 张量计算初步226

1.张量的概念226

2.张量的乘积227

3.张量的坐标229

4.在不同坐标系中的张量231

5.空间的张量积233

习题236

2张量的卷积，对称化与交错化237

1.张量的卷积237

2.结构张量代数239

3.对称张量242

4.斜对称张量245

5.张量空间247

习题249

3外代数249

1.外积249

2.向量空间的外代数250

3.与行列式的联系254

4.向量子空间与p向量255

5.p向量可分解条件257

习题259

第7章 附录261

1 线性算子的范数与函数261

1.线性算子的范数261

2.线性算子（矩阵）的函数264

3.指数函数265

4.线性群的单参数子群268

5.谱半径271

习题273

2线性微分方程274

1.指数函数的导数274

2.微分方程275

3.n阶线性微分方程275

3 凸多面体与线性规划277

1.问题的提出277

2.论据277

3.基本的几何概念279

习题281

4 非负矩阵281

1.生产上的论据281

2.非负矩阵的性质282

3.随机矩阵283

5罗巴切夫斯基几何287

1.罗巴切夫斯基空间287

2.罗巴切夫斯基空间的运动289

3.罗巴切夫斯基度量290

4.罗巴切夫斯基平面293

6有待解决的问题298

1.施特拉辛问题298

2.正交分解298

3.有限射影平面299

4.空间的基底与拉丁方300

习题解答与提示302

教法说明317

索引320