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绪论　模式建构方法在现代数学教育中的作用1

第1章　公理方法5

1.1　公理方法和公理系统5

1°　数学对象、概念和命题5

2°　公理方法7

3°　初始概念和公理、导出概念和定理8

4°　推理规则10

5°　公理系统及其实型14

1.2　公理方法的基本类型16

1°　实体化公理方法16

2°　初等形式化公理方法17

3°　完全形式化公理方法19

1.3　实体化公理方法的应用20

1°　欧几里德《几何原本》中的实体化公理系统（E系统）20

2°　《几何原本》的价值、缺陷和第5公设问题21

3°　运用实体化公理方法需要注意的问题23

4°　牛顿经典力学的公理化25

1.4　初等形式化公理方法的应用27

1°　希尔伯特《几何基础》中的欧氏几何公理系统（EH系统）27

2°　EH系统的展开33

3°　公理方法的沟通功能50

4°　EH系统的代数实型53

1.5　几个常见的公理系统58

1°　非欧几何公理系统58

2°　射影几何公理系统66

3°　自然数公理系统69

4°　悖论与公理化集合论72

1.6　公理系统的逻辑准则78

1°　三条逻辑准则79

2°　验证公理系统符合逻辑准则的方法与哥德尔不完备性定理81

1.7　完全形式公理化方法的应用90

1°　完全形式公理化的基本原则90

2°　ZFC集合论公理系统的完全形式化94

1.8　公理方法的发展史与功能99

1°　公理方法发展史述评99

2°　公理方法的功能和局限性103

第2章　数学结构基本理论105

2.1　数学结构理论与方法概述105

1°　结构理论与方法105

2°　集合论与数学结构109

3°　数学结构理论与方法发展史述评113

2.2　赋构及结构的分类116

1°　赋构操作原则116

2°　结构的分类119

2.3　初始结构120

1°　序关系和初始序结构121

2°　代数运算和初始代数结构121

3°　拓扑空间和初始拓扑结构122

4°　可测性和初始测度结构129

2.4　派生结构131

1°　序结构的派生131

2°　代数结构的派生135

3°　拓扑结构的派生146

4°　测度结构的派生162

2.5　结构生成的一般特点其他生成结构165

1°　结构公理之间的关系165

2°　交叉公理与交叉结构167

3°　多重结构同一结构生成方式的多样性172

4°　结构公理和承载集的关系175

5°　子结构176

6°　积结构177

7°　商结构179

8°　混合结构180

2.6　结构映射181

1°　结构关系和结构映射181

2°　同态与同构184

3°　映射集合的结构187

4°　一致性结构189

第3章　结构分析方法的应用192

3.1　同态与同构方法的应用192

1°　复数集的结构分析及其应用192

2°　从测度观点研究概率论197

3°　抽象群的表示199

3.2　变换群的应用201

1°　关于代数方程根式求解的伽罗瓦理论202

2°　几何学按变换群分类208

3.3　数系的扩张213

1°　一元数系扩张的古典方式及其局限性214

2°　一元数系扩张的结构方式与数系的结构216

3°　实数系（数直线）的结构221

4°　多元数系的构筑223

5°　广义数简述229

3.4　关于微积分问题的结构思考231

1°　实函数向复函数的推广及其基本微积分运算的推广232

2°　黎曼积分向勒贝格积分推广236

3.5　泛函分析中的抽象空间理论241

1°　抽象空间242

2°　算子和算子空间248

第4章　抽象度分析方法252

4.1　数学抽象与模式建构252

1°　数学抽象的特点与基本原则252

2°　抽象过程与抽象物的层次性254

3°　数学抽象的方式256

4.2　抽象链与抽象度261

1°　抽象偏序与抽象链261

2°　抽象度的各种指标及其分析262

3°　抽象度分析表制作举例266

4.3　抽象度分析方法的应用268

1°　选择抽象路径与调整抽象链269

2°　抽象方式的多重性271

3°　抽象度分析方法在教学设计方面的应用274