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第1章 复数与复变函数1

1.1复数1

1.1.1复数与共轭复数1

1.1.2复平面与复数的表示2

1.1.3无穷远点与扩充复平面9

1.2复平面上的拓扑10

1.2.1平面点集的几个基本概念10

1.2.2平面区域与若当曲线13

1.3复变函数16

1.3.1复变函数的基本概念16

1.3.2复变函数的极限与连续18

习题123

第2章 解析函数与初等解析函数27

2.1解析函数的概念和柯西-黎曼条件27

2.1.1解析函数的概念27

2.1.2柯西-黎曼条件30

2.1.3解析函数实部与虚部的调和性33

2.2初等单值解析函数37

2.2.1复指数函数37

2.2.2复三角函数与复双曲函数39

2.3初等多值解析函数41

2.3.1辐角函数41

2.3.2对数函数44

2.3.3根式函数与一般幂函数46

2.4问题研究50

习题252

第3章 柯西积分定理与柯西积分公式56

3.1复积分的概念、基本计算与基本性质56

3.1.1复积分56

3.1.2复积分的基本计算58

3.1.3复积分的基本性质60

3.2柯西积分定理61

3.2.1单连通区域内的柯西积分定理及其推广61

3.2.2不定积分64

3.2.3多连通区域上的柯西积分定理（复合闭路定理）69

3.2.4单连通区域内柯西积分定理的证明71

3.3柯西积分公式72

3.3.1柯西积分公式72

3.3.2解析函数的若干性质75

3.3.3柯西不等式和刘维尔定理78

3.4问题研究80

习题381

第4章 解析函数的幂级数展开与唯一性85

4.1复级数85

4.1.1复数列与复数项级数85

4.1.2复函数项级数的一致收敛与判别90

4.1.3复函数项级数和函数的性质91

4.2幂级数94

4.2.1幂级数的敛散性94

4.2.2幂级数的收敛半径95

4.2.3幂级数的性质98

4.3泰勒定理与解析函数的幂级数展开99

4.3.1泰勒定理与解析函数的幂级数定义法99

4.3.2初等解析函数的幂级数展开101

4.4解析函数零点的孤立性与唯一性104

4.4.1解析函数零点的孤立性104

4.4.2解析函数的唯一性107

4.4.3最大模原理与施瓦茨引理108

习题4112

第5章 解析函数的洛朗展开与孤立奇点115

5.1解析函数的洛朗展式115

5.1.1洛朗级数的收敛性及其和函数的解析性115

5.1.2解析函数的洛朗展开定理116

5.1.3解析函数洛朗展式的求法118

5.2解析函数的孤立奇点121

5.2.1孤立奇点的分类121

5.2.2各类有限孤立奇点的特征122

5.3解析函数在无穷远点的性质126

5.3.1 ∞为孤立奇点的定义126

5.3.2孤立奇点∞与有限孤立奇点的关系及分类127

5.3.3孤立奇点∞为各类孤立奇点的判定129

5.4整函数与亚纯函数的分类130

5.4.1整函数的定义与分类130

5.4.2亚纯函数的定义与分类130

习题5132

第6章 留数理论与辐角原理135

6.1留数的一般理论135

6.1.1留数的定义与留数定理135

6.1.2留数的算法136

6.1.3无穷远点处的留数与留数定理的推广138

6.2利用留数计算实积分140

6.3辐角原理及其应用147

6.3.1辐角原理147

6.3.2儒歇定理149

6.3.3单叶解析函数的导数特征150

习题6152

第7章 共形映射155

7.1解析映射的特征155

7.1.1解析映射的保域性155

7.1.2解析映射的保角性156

7.1.3单叶解析映射的共形性158

7.2分式线性映射159

7.2.1分式线性映射的概念及其分解159

7.2.2分式线性映射的性质161

7.2.3分式线性映射的应用165

7.3几类初等函数所构成的共形映射168

7.3.1幂函数与根式函数168

7.3.2指数函数与对数函数169

7.3.3初等函数构成的共形映射的应用170

7.4黎曼存在定理与边界对应定理171

7.4.1解析映射的一个基本问题171

7.4.2黎曼存在及唯一性定理171

7.4.3边界对应定理172

习题7174

索引178

参考文献180