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绪论1

第一章 函数4

1-1 预备知识4

一、常量和变量4

二、区间4

三、绝对值与绝对值不等式5

四、邻域7

习题1-19

1-2 函数10

一、函数概念10

二、函数的表示法13

三、分段函数14

习题1-215

1-3 函数的特性16

一、函数的有界性16

二、函数的单调性17

三、函数的奇偶性18

四、函数的周期性19

习题1-319

1-4 反函数20

习题1-422

1-5 基本初等函数23

习题1-533

1-6 复合函数与初等函数34

一、复合函数34

二、初等函数37

习题1-637

1-7 建立函数关系式38

习题1-739

1-8 参数方程40

习题1-843

学习指导43

一、重难点剖析43

二、解题方法技巧44

三、典型例题分析45

复习题一48

课外阅读 天才在于积累，聪明在于勤奋——自学成才的华罗庚52

第二章 函数极限53

2-1 预备知识53

一、数列的概念53

二、数列的求和问题54

三、数列的特性57

习题2-158

2-2 数列的极限59

一、数列极限的概念59

二、收敛数列极限的四则运算法则65

三、数列极限的有关定理67

习题2-268

2-3 函数极限69

一、函数极限的概念69

二、函数极限的性质74

习题2-374

2-4 无穷小量与无穷大量75

一、无穷小量75

二、无穷大量76

习题2-477

2-5 函数极限的运算法则77

一、函数极限的四则运算法则78

二、复合函数的极限运算法则81

习题2-581

2-6 两个重要极限82

一、第一个重要极限lim x→0 sinx/x=182

二、第二个重要极限lim x→∞(1+1/x)x=e83

习题2-684

2-7 无穷小量的比较85

一、无穷小量的阶的比较85

二、利用无穷小量等价替换求极限86

习题2-787

学习指导88

一、重难点剖析88

二、解题方法技巧89

三、典型例题分析91

复习题二101

课外阅读 极限思想103

第三章 函数的连续性106

3-1 函数的连续性与间断点106

一、函数连续性的概念106

二、函数的间断点及其分类110

三、连续函数求极限的简便法则113

习题3-1113

3-2 连续函数的运算与初等函数的连续性114

一、连续函数的四则运算114

二、反函数的连续性115

三、复合函数的连续性115

四、初等函数连续性116

习题3-2118

3-3 闭区间上连续函数的性质119

一、有界性定理119

二、最大值和最小值定理119

三、介值定理120

习题3-3121

学习指导122

一、重难点剖析122

二、解题方法技巧123

三、典型例题分析123

复习题三128

课外阅读 转化思想130

第四章 导数与微分134

4-1 导数的概念135

一、导数起源135

二、导数定义及几何意义136

三、单侧导数138

四、函数可导与连续的关系138

习题4-1139

4-2 导函数及其四则运算法则139

一、导函数概念140

二、导数的四则运算法则142

习题4-2143

4-3 复合函数的链式求导法则143

一、导数记号143

二、链式求导法则145

三、链式法则的具体应用方法146

习题4-3148

4-4 特殊求导法则149

一、反函数求导149

二、隐函数求导149

三、取对数技巧求导150

四、高阶导数151

习题4-4152

4- 5微分153

一、微分概念153

二、微分的几何意义153

三、微分运算154

四、一阶微分形式的不变性154

五、微分在近似计算上的应用155

习题4-5156

学习指导156

一、重点难点剖析156

二、解题方法技巧157

三、典型例题分析158

复习题四162

课外阅读 第二次数学危机164

第五章 中值定理与导数应用166

5-1 中值定理166

一、罗尔中值定理166

二、拉格朗日中值定理168

三、柯西中值定理171

习题5-1173

5-2 洛必达法则174

一、0/0型未定式174

二、∞/∞型未定式176

三、其他类型的未定式177

习题5-2179

5-3 导数在研究函数上的应用180

一、函数的单调性180

二、函数的极值182

三、函数的最值185

四、曲线的凹向与拐点187

五、函数图像的描绘188

习题5-3191

学习指导192

一、重难点剖析192

二、解题方法技巧193

三、典型例题分析194

复习题五196

课外阅读199

一、贫困的数学家——罗尔199

二、欧洲最大的数学家——拉格朗日199

三、柯西200

四、洛必达201

第六章 不定积分203

6-1 不定积分203

一、原函数与不定积分的概念203

二、不定积分的性质与基本积分公式205

习题6-1207

6-2 换元积分法208

一、第一换元积分法208

二、第二换元积分法211

习题6-2215

6-3 分部积分法215

习题6-3220

6-4 有理函数的不定积分220

一、代数的预备知识220

二、有理函数的不定积分222

习题6-4223

学习指导223

一、重难点剖析223

二、解题方法技巧224

三、典型例题分析226

复习题六232

课外阅读 历史插曲：牛顿与莱布尼兹的争论234

第七章 定积分236

7-1 定积分的概念236

一、引例236

二、定积分的定义238

三、可积条件239

四、定积分的几何意义242

习题7-1243

7-2 定积分的性质244

一、定积分的线性性质244

二、定积分对积分区间的可加性245

三、与定积分的估计有关的性质245

四、定积分的中值定理246

习题7-2247

7-3 微积分学基本定理248

一、积分上限函数及其导数248

二、牛顿—莱布尼兹公式250

习题7-3251

7-4 定积分的换元积分法与分部积分法252

一、定积分的换元积分法252

二、定积分的分部积分法256

习题7-4257

7-5 定积分的应用258

一、平面图形的面积258

二、平面曲线的弧长261

三、旋转体的体积262

四、变速直线运动经过的路程264

五、变力所做的功264

习题7-5267

学习指导268

一、重难点剖析268

二、解题方法技巧269

三、典型例题分析270

复习题七272

课外阅读 积分学发展简史——从黎曼积分到勒贝格积分274

第八章 微积分思想作文279

8-1 数学思想作文导论279

一、数学思想与数学作文279

二、数学思想作文辅导279

习题8-1283

8-2 微积分思想作文示例283

一、极限思想作文283

二、恒等变换思想作文289

三、构造思想作文294

四、建模思想作文296

五、化归思想作文298

习题8-2304

8-3 自由作文305

习作举例之一 计算机与数学305

习作举例之二 教室日光灯应如何排列310

习作举例之三 究其本，以明其身——记学习微积分的一则感悟312

习作举例之四 微积分中的数学美314

习题8-3317

课外阅读 数学思想方法与语文修辞手法的联系318

习题参考答案326

附录一 常用的初等数学基本知识346

附录二 导数与微分公式法则对照表352

附录三 简易积分表354

参考文献360