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第8章 多元函数、极限与连续性1

8.1 欧氏空间Rm的完备性和紧性1

8.1.1 点列的收敛性1

8.1.2 开集与闭集1

8.1.3 Rm中的一些重要集及特征3

8.1.4 Rm的完备性4

8.1.5 Rm中有界闭集的紧性4

思考与练习题6

8.2 多元函数、极限与连续性6

8.2.1 数量函数与向量函数6

8.2.2 多元函数的极限8

8.2.3 多元函数的连续性10

8.3 课内练习13

习题8(A)13

习题8(B)14

独立作业815

第9章 多元函数微分学16

9.1 多元数量函数的偏导数和全微分16

9.1.1 多元函数的偏导数16

9.1.2 全微分17

9.1.3 多元函数连续、可导与可微的关系17

9.1.4 混合偏导数与求导顺序无关的条件19

9.1.5 多元复合函数的求导法则19

9.1.6 一阶全微分形式的不变性20

9.2 多元向量函数的导数与微分21

9.2.1 线性变换21

9.2.2 多元向量函数的微分22

9.3 多元向量函数的复合求导法及其应用24

9.3.1 多元向量函数的复合求导法则24

9.3.2 反函数存在定理与微分法25

9.3.3 隐函数存在定理及微分法26

9.3.4 变量代换27

9.3.5 泰勒公式28

9.4 课内练习30

习题9(A)31

习题9(B)32

独立作业933

第10章 多元函数微分学的应用34

10.1 在几何学上的应用34

10.1.1 空间曲线的切向量、切线与法平面34

10.1.2 空间曲线的伴随三面形35

10.1.3 空间曲面的法向量、切平面与法线方程36

10.2 多元函数的极值与条件极值38

10.2.1 极值38

10.2.2 多元函数的最大、最小值求法39

10.2.3 条件极值与拉格朗日乘数法40

习题10.1～10.2(A)44

习题10.2～10.2(B)44

10.3.2 二阶线性偏微分方程的化简45

10.3.1 二阶线性偏微分方程基本概念45

10.3 偏微分方程初步45

10.3.3 一维波动方程柯西问题的解法47

10.4 解析函数48

10.4.1 复变函数的导数概念48

10.4.2 可导函数的性质49

10.4.3 解析函数49

习题10.3～10.4(A)50

习题10.3～10.4(B)51

独立作业1051

第11章 多元数值函数的积分学53

11.1 重积分的概念及性质53

11.1.1 质量问题53

11.1.2 重积分的定义54

11.1.3 重积分的性质55

习题11.1(A)57

11.2 二重积分的计算和应用58

11.2.1 二重积分在直角坐标下的计算58

习题11.1(B)58

11.2.2 二重积分在极坐标下的计算62

11.2.3 二重积分的换元法66

11.2.4 二重积分的应用70

习题11.2(A)73

习题11.2(B)75

11.3 三重积分的计算及应用76

11.3.1 三重积分在直角坐标系下的计算76

11.3.2 三重积分在柱坐标系下的计算79

11.3.3 三重积分在球坐标系下的计算81

11.3.4 三重积分的应用85

习题11.3(A)88

习题11.3(B)90

11.4 对弧长的曲线积分与对面积的曲面积分的概念及性质91

11.4.1 非均匀物质曲线与曲面的质量与第一类曲线积分、曲面积分91

11.4.2 第一类线积分的计算93

11.4.3 第一类曲面积分的计算与应用95

习题11.4(A)97

习题11.4(B)97

独立作业1197

第11章复习题98

第12章 向量场，第二类曲线与曲面积分100

12.1 向量场100

12.1.1 不稳定场与稳定场100

12.1.2 向量场的流线100

12.2 对坐标的曲线积分的概念与计算101

12.2.1 场力沿曲线作功的问题与第二类曲线积分101

12.2.2 第二类曲线积分的计算104

习题12.2106

12.3 格林公式、平面曲线积分与路径无关的条件106

12.3.1 格林公式106

12.3.2 平面曲线积分与路径无关的条件111

习题12.3(B)118

习题12.3(A)118

12.4 复变函数的积分119

12.4.1 复变函数积分的定义119

12.4.2 积分存在的条件及其计算法120

12.4.3 柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理121

12.5 留数124

12.5.1 函数罗伦级数展开式的证明124

12.5.2 留数125

12.5.3 留数在计算定积分中的应用举例126

习题12.4～12.5(A)128

习题12.4～12.5(B)129

12.6 第二类曲面积分131

12.6.1 流量问题与第二类曲面积分131

12.6.2 第二类曲面积分的计算133

12.7 高斯公式与散度135

12.7.1 高斯公式135

12.7.3 散度的定义及其计算137

12.7.2 通量与通量密度137

习题12.6～12.7(A)141

12.8 斯托克斯公式与旋度142

12.8.1 斯托克斯(Stokes)公式142

12.8.2 环量与环量密度144

12.8.3 旋度的定义及其计算公式144

12.9 梯度、散度、旋度的运算法则，几种特殊向量场147

12.9.1 哈密尔顿(Hamilton)算子147

12.9.2 无旋场148

12.9.3 无源场150

12.9.4 调和场152

12.9.5 梯度、旋度和散度对场的确定152

习题12.8～12.9(A)154

习题12.8～12.9(B)155

第11、12章思考题156

线、面积分及场论综合习题156

独立作业12158

附录 习题参考答案161