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第一章 函数、极限与连续1

【学习目标】1

【重点与难点】1

第一节 函数1

一、函数的概念1

二、函数的表示法3

三、函数的性质4

四、反函数5

习题1-15

第二节 初等函数6

一、基本初等函数6

二、复合函数9

习题1-210

第三节 极限的概念10

一、数列的极限10

二、函数的极限11

三、极限的性质14

四、无穷小量15

五、无穷大量16

习题1-316

第四节 极限的运算17

一、极限的四则运算法则17

二、复合函数的极限法则19

三、两个重要极限19

四、无穷小的比较21

习题1-422

第五节 函数的连续性23

一、函数连续性的概念23

二、函数的间断点24

三、连续函数的运算25

四、初等函数的连续性26

五、闭区间上连续函数的性质26

习题1-527

【本章小结】28

【复习题一】29

【数学史话】极限思想的发展30

第二章 导数与微分32

【学习目标】32

【重点与难点】32

第一节 导数的概念32

一、引例32

二、导数的概念33

三、导数的几何意义36

四、函数的可导性与连续性的关系37

习题2-137

第二节 导数的运算37

一、导数的四则运算法则38

二、复合函数的求导法则39

三、反函数的求导法则40

四、初等函数的导数41

五、三个常用的求导方法42

习题2-244

第三节 高阶导数44

习题2-345

第四节 微分及其应用46

一、引例46

二、微分的概念46

三、微分公式和微分的运算法则47

四、微分在近似计算中的应用48

习题2-449

【本章小结】49

【复习题二】50

【数学史话】欧拉54

第三章 导数的应用55

【学习目标】55

【重点与难点】55

第一节 中值定理55

一、罗尔定理55

二、拉格朗日中值定理56

三、柯西定中值定理57

习题3-159

第二节 洛必达法则59

一、O/O型未定式的极限59

二、∞/∞型未定式的极限60

三、其他类型的未定式61

习题3-262

第三节 函数的单调性、极值与最值63

一、函数单调性的判别法63

二、函数的极值64

三、函数的最值66

习题3-367

第四节 函数图形的描绘67

一、曲线的凹凸性及拐点67

二、曲线的渐近线68

三、函数图形的描绘69

习题3-471

第五节 曲率71

一、曲率的概念71

二、曲率的计算73

习题3-575

第六节 微分学在经济领域的应用75

一、边际分析75

二、税收问题77

三、弹性分析78

习题3-680

【本章小结】80

【复习题三】81

【数学史话】拉格朗日83

第四章 不定积分84

【学习目标】84

【重点与难点】84

第一节 不定积分的概念和性质84

一、不定积分的概念84

二、不定积分的性质85

三、基本积分公式85

习题4-186

第二节 换元积分法87

一、第一类换元积分法（凑微分法）87

二、第二类换元积分法89

习题4-291

第三节 分部积分法91

习题4-393

【本章小结】94

【复习题四】94

【数学史话】牛顿95

第五章 定积分及其应用97

【学习目标】97

【重点与难点】97

第一节 定积分的概念与性质97

一、定积分问题举例97

二、定积分的概念99

三、定积分的几何意义100

四、定积分的性质101

习题5-1103

第二节 微积分基本公式104

一、积分上限函数104

二、微积分基本公式105

习题5-2106

第三节 定积分的计算106

一、定积分的换元积分法106

二、定积分的分部积分法108

习题5-3109

第四节 广义积分109

一、无穷区间上的广义积分109

二、无界函数的广义积分111

习题5-4112

第五节 定积分的应用113

一、定积分的微元法（元素法）113

二、定积分在几何上的应用113

三、定积分在物理上的应用118

习题5-5120

【本章小结】120

【复习题五】121

【数学史话】莱布尼兹122

第六章 常微分方程124

【学习目标】124

【重点与难点】124

第一节 常微分方程的基本概念与可分离变量方程124

一、常微分方程的基本概念124

二、可分离变量方程127

习题6-1128

第二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程129

一、一阶线性微分方程129

二、可降阶的高阶微分方程131

习题6-2133

第三节 二阶常系数线性微分方程134

一、二阶常系数线性微分方程解的结构134

二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法135

三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法137

习题6-3141

【本章小结】142

【复习题六】143

【数学史话】正统的数学家——柯西144

第七章 向量与空间解析几何146

【学习目标】146

【重点与难点】146

第一节 空间直角坐标系与向量的概念146

一、空间直角坐标系146

二、向量的概念及线性运算148

三、向量的坐标表示149

习题7-1151

第二节 向量的点积和叉积151

一、向量的点积151

二、向量的叉积152

习题7-2154

第三节 空间平面与直线154

一、图形与方程154

二、平面155

三、直线157

习题7-3159

第四节 曲面与空间曲线159

一、曲面159

二、空间曲线160

三、空间曲线在坐标面上的投影162

习题7-4163

【本章小结】163

【复习题七】164

【数学史话】向量的由来165

第八章 多元函数微分学166

【学习目标】166

【重点与难点】166

第一节 多元函数的极限与连续性166

一、多元函数的概念166

二、二元函数的极限与连续性168

习题8-1170

第二节 偏导数170

一、偏导数170

二、高阶偏导数172

习题8-2173

第三节 全微分174

一、全微分的概念174

二、全微分在近似计算中的应用176

习题8-3176

第四节 多元复合函数微分法177

一、多元复合函数微分法177

二、隐函数的微分法180

习题8-4181

第五节 偏导数在几何上的应用181

一、空间曲线的切线和法平面181

二、空间曲面的切平面和法线183

习题8-5184

第六节 多元函数的极值和最值184

一、多元函数的极值184

二、多元函数的最值186

三、条件极值187

习题8-6190

【本章小结】190

【复习题八】192

【数学史话】多元函数微积分的创立（一）193

第九章 多元函数积分学194

【学习目标】194

【重点与难点】194

第一节 二重积分的概念和性质194

一、引例分析194

二、二重积分的概念195

三、二重积分的性质195

习题9-1196

第二节 二重积分的计算与应用196

一、在直角坐标系下计算二重积分196

二、在极坐标系下计算二重积分201

三、二重积分的应用204

习题9-2207

第三节 曲线积分的概念与计算208

一、第一类曲线积分——对弧长的曲线积分208

二、第二类曲线积分——对坐标的曲线积分210

习题9-3213

【本章小结】213

【复习题九】215

【数学史话】多元函数微积分的创立（二）216

第十章 级数217

【学习目标】217

【重点与难点】217

第一节 数项级数及其敛散性217

一、数项级数的概念及性质217

二、正项级数的概念及性质222

三、交错级数的概念及性质226

四、绝对收敛与条件收敛226

习题10-1228

第二节 幂级数228

一、函数项级数的概念228

二、幂级数及其收敛性229

三、幂级数的性质231

四、函数的幂级数展开233

习题10-2239

【本章小结】240

【复习题十】241

【数学史话】大数学家——泰勒243

第十一章 拉普拉斯变换245

【学习目标】245

【重点与难点】245

第一节 拉普拉斯变换的概念245

一、拉普拉斯变换的基本概念245

二、单位脉冲函数及其拉普拉斯变换246

习题11-1248

第二节 拉普拉斯变换性质248

一、线性性质248

二、微分性质248

三、积分性质250

四、位移性质250

五、延迟性质251

六、卷积与卷积定理251

习题11-2253

第三节 拉普拉斯变换的逆变换254

习题11-3254

第四节 拉普拉斯变换的应用255

习题11-4256

【本章小结】256

【复习题十一】257

【数学史话】拉普拉斯257

附录Ⅰ 拉普拉斯变换表259

附录Ⅱ 参考答案262

参考文献281