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第一章 误差分析1

1.1 数的表示2

1.2 舍入误差和浮点运算5

1.3 误差传播10

1.4 例题23

1.5 区间运算·统计舍入估计31

第一章习题37

第一章参考文献40

第二章 插值法42

2.1 多项式插值43

2.1.1 理论基础：Lagrange 插值公式43

2.1.2 Neville 算法45

2.1.3 Newton 插值公式：均差49

2.1.4 多项式插值的误差54

2.1.5 Hermite 插值57

2.2 有理函数插值65

2.2.1 有理插值的一般性质65

2.2.2 反差商和倒差商：Thiele 连分式70

2.2.3 Neville 型算法75

2.2.4 有理插值和多项式插值的比较79

2.3 三角插值81

2.3.1 基本情况81

2.3.2 快速 Fourier 变换86

2.3.3 Coertzel 和 Reinsch 算法95

2.3.4 计算 Fourier 系数·衰减因子99

2.4 样条函数插值105

2.4.1 理论基础105

2.4.2 求插值样条函数110

2.4.3 样条函数的收敛性116

2.4.4 B样条121

2.4.5 B样条的计算126

第二章习题131

第二章参考文献140

第三章 数值积分142

3.1 Newton-Cotes 积分公式143

3.2 Peano 误差表示149

3.3 Euler-Maclaurin 求和公式155

3.4 用外推法求积分160

3.5 外推方法166

3.6 Gauss 积分方法172

3.7 奇异积分183

第三章习题186

第三章参考文献190

第四章 线性方程组192

4.1 Gauss 消去法·矩阵的三角分解192

4.2 Gauss-Jordan 算法203

4.3 Cholesky 分解208

4.4 误差界211

4.5 Gauss 消去法的舍入误差分析220

4.6 解三角形方程组的舍入误差226

4.7 Housoholder 和Gram-Schmidt 直交化方法228

4.8 数据拟合236

4.8.1 线性最小二乘·法方程238

4.8.2 利用直交化方法解线性最小二乘问题240

4.8.3 线性最小二乘问题的条件242

4.8.4 非线性最小二乘问题249

4.8.5 广义逆矩阵251

4.9 矩阵分解的修改方法254

4.10 单纯形法264

4.11 单纯形法的第一阶段279

4.12 稀疏矩阵的消去法283

第四章习题292

第四章参考文献297

第五章 迭代法求零点和极小点299

5.1 迭代法的提出300

5.2 一般收敛性定理303

5.3 多变量 Newton 法的收敛性308

5.4 修正 Newion 法312

5.4.1 极小化方法的收敛性313

5.4.2 对收敛性准则修正 Newton 法的应用319

5.4.3 对修正 Newton 法实际执行的意见·Broyden 秩-方法323

5.5 多项式求根·NeWton 法的应用327

5.6 Sturm 序列和二分法339

5.7 Bairstow 方法344

5.8 多项式根的灵敏性346

5.9 求根的插值方法350

5.10 Aitken 的⊿2方法356

5.11 无约束极小化问题361

第五章习题371

第五章参考文献374

第六章 特征值问题377

6.0 引言377

6.1 特征值的基本情况378

6.2 矩阵的 Jordan 标准形382

6.3 矩阵的 Frobenius 标准形388

6.4 矩阵的 Schur 标准形·Hermite 矩阵和正规矩阵·矩阵的奇异值393

6.5 约化矩阵为简单形式400

6.5.1 约化 Hermite 矩阵为三对角阵；Householder 方法403

6.5.2 约化 Hermite 矩阵为三对角阵或对角阵：Givens 方法和 Jacobi 方法409

6.5.3 约化矩阵为 Frobenius 阵414

6.5.4 约化矩阵为 Hessenberg 阵416

6.6 求特征值和特征向量的方法420

6.6.1 计算 Hermite 三对角阵的特征值421

6.6.2 计算 Hessenberg 阵的特征值·Hyman 方法423

6.6.3 简单向量迭代和 Wielandt 逆迭代424

6.6.4 LR 方法433

6.6.5 LR 方法的实现440

6.6.6 QR 方法443

6.7 矩阵奇异值的计算451

6.8 广义特征值问题457

6.9 特征值的估计458

第六章习题473

第六章参考文献481

第七章 常微分方程483

7.0 引言483

7.1 常微分方程理论中的一些定理485

7.2.1 单步法：基本概念490

7.2 初值问题490

7.2.2 单步法的收敛性495

7.2.3 单步法整体离散误差的渐近展开式499

7.2.4 单步法舍入误差的影响501

7.2.5 单步法的实际执行504

7.2.6 多步法：例510

7.2.7 一般多步法514

7.2.8 一个发散的例子517

7.2.9 线性差分方程521

7.2.10 多步法的收敛性524

7.2.11 线性多步法529

7.2.12 线性多步法总体离散误差的渐近展式534

7.2.13 多步法的实际执行539

7.2.14 解初值问题的外推法543

7.2.15 解初值问题方法的比较546

7.2.16 刚性(Stiff)微分方程组547

7.2.17 隐式微分方程·微分-代数方程551

7.3.0 引言556

7.3 边值问题556

7.3.1 简单打靶法559

7.3.2 解线性边值问题的简单打靶法566

7.3.3 边值问题解的存在性与唯一性定理567

7.3.4 简单打靶法执行中的困难569

7.3.5 多重打靶法576

7.3.6 对多重打靶法实施的提示580

7.3.7 例：推进返回空间飞行器的最优控制程序586

7.3.8 多重打靶法的极限情形m→∞(一般Newton法，拟线性化)592

7.4 差分方法598

7.5 变分方法604

7.6 解常微分方程边值问题方法的比较613

7.7 解偏微分方程的变分方法·有限元方法617

第七章习题624

第七章参考文献631

第八章 解大型线性方程组的迭代法·一些其它方法636

8.0 引言636

8.1 构造迭代法的一般步骤637

8.2 收敛定理640

8.3 松弛方法646

8.4 差分方法的应用——一个例子656

8.5 块迭代方法662

8.6 Peaceman 和 Rachford 的 ADI 方法665

8.7 Hestenes 和 Stiefel 的共轭梯度法675

8.8 解离散化 Poisson 方程的 Buneman 算法680

8.9 多重网格法689

8.10 迭代法的比较700

第八章习题704

第八章参考文献712

关于数值方法的一般文献714