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第一章 线性方程组的解法1

引例 交通流量问题1

第一节 线性方程组的消元法1

一、线性方程组的概念1

二、线性方程组的消元法2

思考题一4

第二节 矩阵及其初等行变换4

一、矩阵4

二、矩阵的初等行变换6

思考题二11

第三节 应用举例11

一、引例解答11

二、化学方程式的平衡12

三、封闭的列昂季耶夫（Leontief， W.）投入-产出模型12

习题一14

第二章 行列式16

引例 插值问题16

第一节n阶行列式17

一、二阶与三阶行列式17

二、n阶行列式18

思考题一21

第二节 行列式性质与展开定理22

一、行列式的性质22

二、行列式按行（或列）展开定理26

思考题二31

第三节 克拉默法则31

思考题三34

第四节 应用举例34

一、引例解答34

二、平行六面体的体积34

三、平面上两点式直线方程35

习题二36

第三章 矩阵41

引例 密码问题41

第一节 矩阵的基本运算41

一、特殊矩阵43

二、矩阵的相等43

三、数乘矩阵43

四、矩阵加法44

五、矩阵乘法44

六、矩阵的转置48

思考题一49

第二节 逆矩阵50

一、伴随矩阵50

二、逆矩阵及其性质51

思考题二55

第三节 分块矩阵55

一、分块矩阵的定义55

二、分块矩阵的运算56

三、分块对角矩阵58

思考题三59

第四节 矩阵的初等变换59

一、矩阵的初等变换与矩阵的等价59

二、初等矩阵60

三、求逆矩阵的初等行变换法62

思考题四64

第五节 矩阵的秩64

一、矩阵秩的定义64

二、矩阵秩的计算65

三、矩阵秩的性质66

思考题五67

第六节 线性方程组解的理论67

一、齐次线性方程组解的理论68

二、非齐次线性方程组解的理论69

思考题六72

第七节 应用举例73

一、引例解答73

二、网络与图74

三、人口迁徙问题75

习题三75

第四章向量组的线性相关性84

引例 食品调味料配置问题84

第一节 向量及其线性表示85

一、n维向量的概念85

二、向量的线性运算85

三、向量的线性组合与线性表示86

思考题一87

第二节 向量组的线性相关性88

一、向量组的线性相关与线性无关88

二、向量组线性相关的性质90

思考题二92

第三节 向量组的秩93

一、向量组的极大无关组93

二、向量组的秩94

思考题三95

第四节 向量空间96

一、向量空间及其有关概念96

二、向量空间的基和维数，向量的坐标97

三、基变换与坐标变换99

思考题四100

第五节 线性方程组解的结构100

一、齐次线性方程组解的结构101

二、非齐次线性方程组解的结构104

思考题五106

第六节 应用举例107

一、引例解答107

二、减肥配方108

三、马尔可夫链109

习题四110

第五章 矩阵的相似对角化116

引例 遗传问题116

第一节 特征值与特征向量116

一、特征值与特征向量的概念及求法116

二、特征值和特征向量的性质119

思考题一123

第二节 相似矩阵123

一、相似矩阵的概念与性质123

二、矩阵与对角矩阵相似的条件125

思考题二128

第三节 实对称矩阵的对角化128

一、实向量的内积、施密特正交化方法与正交矩阵128

二、实对称矩阵特征值与特征向量的性质133

三、实对称矩阵的对角化133

思考题三136

第四节 应用举例137

一、引例解答137

二、再论马尔可夫链138

三、环境保护与工业发展139

习题五139

第六章 实二次型148

引例 二次曲面的研究148

第一节 实二次型及其标准形148

一、二次型的概念148

二、二次型的矩阵表示形式149

思考题一149

第二节 化实二次型为标准形150

一、线性变换150

二、用配方法化二次型为标准形150

三、用正交变换法化二次型为标准形152

思考题二154

第三节 正定二次型154

思考题三155

第四节 应用举例156

一、引例解答156

二、二次曲线的研究156

三、多元函数的最值157

习题六158

附录160

MATLAB实验一 矩阵运算与数组运算160

练习一166

MATLAB实验二 矩阵与线性方程组166

练习二170

参考文献172