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第1章 引论1

1.1离散化1

1.1.1为什么要离散化1

1.1.2计算机系统本质上是离散的2

1.2离散数学与计算机的关系3

1.2.1数学是计算机的基础3

1.2.2计算机对数学的贡献5

1.2.3离散数学的作用6

1.2.4离散数学在计算机学科主干课程中的应用8

1.3离散数学主题以及算法化思维9

1.3.1离散数学主题9

1.3.2算法化思维的重要性11

1.4如何学习离散数学12

1.4.1离散数学的特点12

1.4.2学习离散数学要注意的问题12

1.5本章小结13

习题115

第2章 基础知识16

2.1集合论16

2.1.1集合的基本概念16

2.1.2集合论的思想渊源18

2.1.3集合表示21

2.1.4集合运算及相关算法23

2.1.5集合证明技巧30

习题2.132

2.2矩阵论33

2.2.1矩阵的概念及其基本运算33

2.2.2布尔矩阵及布尔积算法37

习题2.239

2.3初等数论39

2.3.1数的整除性39

2.3.2同余41

习题2.341

2.4本章小结42

自测题245

第3章 关系47

3.1序偶和笛卡儿积47

习题3.150

3.2关系及其表示50

3.2.1关系的概念50

3.2.2几种特殊的关系51

3.2.3关系的表示52

习题3.254

3.3关系的性质及其判定算法54

3.3.1关系的性质54

3.3.2关系性质判定算法55

习题3.357

3.4复合关系58

3.4.1复合关系的定义58

3.4.2关系的复合运算的性质59

3.4.3复合关系的矩阵表示及图形表示60

3.4.4复合关系生成算法61

习题3.462

3.5逆关系63

3.5.1逆关系的概念及性质63

3.5.2逆关系生成算法65

习题3.565

3.6关系的闭包运算66

3.6.1关系传递闭包66

3.6.2关系传递闭包计算的Warshall算法68

习题3.670

3.7等价关系70

3.7.1集合的划分和覆盖70

3.7.2等价关系与等价类71

3.7.3等价关系相关算法74

习题3.775

3.8相容关系76

习题3.879

3.9偏序关系79

3.9.1偏序关系的定义79

3.9.2哈斯图及其构造算法80

3.9.3偏序集中特殊位置的元素81

3.9.4拓扑排序算法83

3.9.5良序83

习题3.984

3.10格85

习题3.1091

3.11关系在计算机科学中的应用92

3.11.1关系在关系数据库中的应用92

3.11.2关系传递闭包在语法分析中的应用93

3.12本章小结95

自测题397

第4章 映射100

4.1映射的基本概念100

4.1.1映射的概念100

4.1.2映射的分类103

习题4.1105

4.2复合映射和逆映射106

4.2.1复合映射106

4.2.2逆映射108

习题4.2110

4.3置换函数111

习题4.3112

4.4计算机科学中常用的函数112

4.4.1特征函数112

4.4.2取整函数114

4.4.3布尔函数117

4.4.4哈希函数118

4.4.5算法复杂性分析的数学基础120

习题4.4123

4.5本章小结124

自测题4125

第5章 组合分析126

5.1计数126

5.1.1基本计数关系式126

5.1.2相容排斥原理126

5.1.3加法法则和乘法法则129

习题5.1130

5.2排列131

5.2.1无重复排列131

5.2.2有重复的排列131

5.2.3排列生成算法132

习题5.2134

5.3组合135

5.3.1无重复的组合135

5.3.2有重复的组合136

5.3.3组合生成算法138

习题5.3139

5.4生成函数139

习题5.4141

5.5鸽巢原理142

5.5.1一般的鸽巢原理142

5.5.2推广的鸽巢原理142

习题5.5143

5.6组合分析在计算机中的应用144

5.7本章小结145

自测题5146

第6章 代数系统148

6.1代数系统发展史148

6.2运算与代数系统150

6.2.1运算的概念150

6.2.2代数系统的概念151

6.2.3运算的性质及性质判定算法151

6.2.4单位元、零元和逆元153

习题6.2156

6.3半群157

6.3.1半群及其性质157

6.3.2单位半群159

习题6.3160

6.4群161

6.4.1群的基本概念161

6.4.2群的性质162

6.4.3子群163

习题6.4165

6.5特殊的群166

6.5.1交换群166

6.5.2循环群167

6.5.3置换群168

习题6.5169

6.6代数系统的同态与同构170

习题6.6175

6.7代数系统在计算机中的应用176

6.7.1布尔代数及其在电路设计中的应用176

6.7.2群论在计算机编码纠错中的应用177

6.7.3半群与文法及形式语言180

习题6.7181

6.8本章小结182

自测题6183

第7章 图论186

7.1图的基本概念186

7.1.1图的定义与分类186

7.1.2补图与生成子图188

7.1.3握手定理189

7.1.4同构图190

习题7.1192

7.2图的连通性193

7.2.1基本路与基本回路193

7.2.2图的连通性195

习题7.2196

7.3图的矩阵表示197

7.3.1邻接矩阵197

7.3.2可达性矩阵199

7.3.3完全关联矩阵201

7.3.4与图有关的算法202

习题7.3203

7.4欧拉图与汉密尔顿图203

7.4.1欧拉图203

7.4.2汉密尔顿图206

习题7.4208

7.5二部图及匹配210

7.5.1二部图210

7.5.2匹配及最大匹配算法211

习题7.5214

7.6平面图215

7.6.1平面图的定义215

7.6.2欧拉公式217

习题7.6220

7.7最短路Dij kstra算法220

7.7.1问题的提出220

7.7.2 Dij kstra算法221

习题7.7221

7.8树222

7.8.1树的基本概念222

7.8.2最小生成树Kruskal算法224

7.8.3二叉树226

7.8.4最优二叉树哈夫曼算法229

习题7.8231

7.9图论在计算机中的应用232

7.9.1二叉树的遍历算法及表达式表示232

7.9.2前缀码的设计233

7.9.3有限状态机的图表示235

7.10本章小结236

自测题7240

第8章 数理逻辑243

8.1命题演算243

8.1.1命题与命题联结词243

8.1.2命题公式248

8.1.3真值表及其真值计算算法250

8.1.4命题等值式252

8.1.5重言式、矛盾式和可满足式256

8.1.6蕴涵式257

习题8.1259

8.2范式261

8.2.1对偶原理261

8.2.2范式转换算法262

8.2.3主范式形成算法264

习题8.2272

8.3命题推理273

8.3.1直接推理法274

8.3.2间接推理法275

习题8.3276

8.4谓词演算278

8.4.1个体、谓词和量词278

8.4.2谓词公式和辖域281

8.4.3谓词公式的解释及逻辑有效式283

习题8.4284

8.5谓词等值式和置换规则286

习题8.5288

8.6谓词推理289

8.6.1逻辑有效蕴涵式289

8.6.2推理定律289

8.6.3推理实例291

习题8.6292

8.7数理逻辑在计算机中的应用293

8.7.1逻辑推理在人工智能中的应用293

8.7.2人工智能语言Prolog简介294

习题8.7295

8.8本章小结295

自测题8298

后记301

参考文献302