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第1章 函数 极限 连续性1

1.1 集合 映射 函数1

1.1.1 几个常用的逻辑符号1

1.1.2 数集的记号1

1.1.3 集合及其运算2

1.1.4 直积与关系3

1.1.5 映射与函数4

1.1.6 常见函数的定义域5

1.1.7 邻域5

1.1.8 几个重要的分段函数6

1.1.9 函数的奇偶性7

1.1.10 函数的有界性9

1.1.12 反函数13

1.1.11 函数的周期性13

1.1.13 复合函数15

1.1.14 基本初等函数16

1.1.15 初等函数21

1.1.16 双曲函数22

1.2 数列的极限23

1.2.1 数列的概念23

1.2.2 数列的极限24

1.2.3 一些重要的数列极限25

1.2.4 数列极限的斯托尔茨定理26

1.2.5 数列极限的性质27

1.2.6 数列与子数列的敛散性关系27

1.2.7 数列收敛的两个准则28

1.2.8 数列极限的运算法则29

1.3.1 函数极限？f(x)=A30

1.3 函数的极限30

1.2.9 数列敛散性的若干性质30

1.3.2 单侧极限31

1.3.3 函数f（？）在x=0处的单侧极限和极限32

1.3.4 函数极限？f(x)=A33

1.3.5 一些单向极限存在但极限？f（x）不存在的函数35

1.3.6 函数极限的6种定义36

1.3.7 函数极限的性质36

1.3.8 函数极限与数列极限的关系37

1.4 无穷小与无穷大38

1.4.1 无穷小38

1.4.2 无穷小的运算性质38

1.4.3 无穷大39

1.4.4 无穷大定义一览表40

1.4.6 无穷大与无穷小的倒数关系41

1.4.5 无穷大的运算性质41

1.4.7 无穷大与无界函数的关系42

1.5 极限的运算法则44

1.5.1 极限的四则运算法则44

1.5.2 一些基本极限44

1.5.3 多项式函数与有理函数的极限44

1.6 函数极限存在准则两个重要极限46

1.6.1 函数极限存在的两个准则46

1.6.2 重要极限？=147

1.6.3 重要极限？（1＋？）x=e48

1.6.4 其他重要极限49

1.7 无穷小的比较49

1.7.1 无穷小比较的定义49

1.7.2 高阶无穷小的运算律50

1.7.4 等价无穷小的性质51

1.7.3 无穷小的阶的运算律51

1.7.5 常见的等价无穷小52

1.7.6 更高阶的等价无穷小52

1.7.7 等价无穷小代换定理53

1.7.8 在加减项之间进行等价无穷小代换53

1.7.9 几个有用的等价无穷小代换54

1.7.10 无穷大的比较55

1.8 函数的连续性与间断点55

1.8.1 函数的连续性55

1.8.2 间断点的分类56

1.8.3 连续函数的运算57

1.8.4 幂指函数的极限59

1.8.5 幂指函数极限中的等价无穷小代换60

1.8.6 初等函数的连续性61

1.8.7 闭区间上连续函数的性质62

第2章 导数与微分63

2.1 导数概念63

2.1.1 导数的定义63

2.1.2 导数的各种形式63

2.1.3 单侧导数64

2.1.4 导数的几何意义65

2.1.5 可导与连续的关系66

2.1.6 导数模型一览表67

2.1.7 基本初等函数的导数公式68

2.1.8 双曲函数和反双曲函数的导数公式69

2.2 函数的求导法则69

2.2.1 导数的四则运算法则69

2.2.2 反函数的求导法则70

2.2.3 复合函数的求导法则：链式法则71

2.2.4 隐函数的求导法则73

2.2.5 对数求导法74

2.2.6 由参数方程所确定的函数的导数76

2.2.7 参数曲线的切线与法线77

2.2.8 由极坐标方程所确定的函数的导数77

2.2.9 相关变化率78

2.3 一些特殊的求导方法78

2.3.1 分段函数的导数78

2.3.2 带绝对值的函数的导数81

2.3.3 奇（偶）函数和周期函数的导数83

2.4 高阶导数84

2.4.1 高阶导数的定义84

2.4.2 高阶导数的运算法则84

2.4.4 复合函数的二阶导数85

2.4.3 一些重要的高阶导数公式85

2.4.5 由参数方程所确定的函数的高阶导数86

2.4.6 隐函数的二阶导数87

2.4.7 反函数的高阶导数87

2.4.8 带绝对值的函数的高阶导数88

2.5 微分88

2.5.1 微分的概念88

2.5.2 基本初等函数的微分公式90

2.5.3 微分的运算法则90

2.5.4 微分在近似计算中的应用91

第3章 中值定理与导数的应用93

3.1 中值定理93

3.1.1 罗尔定理93

3.1.2 罗尔定理的应用93

3.1.3 拉格朗日中值定理94

3.1.4 拉格朗日中值定理的应用95

3.1.5 柯西中值定理96

3.1.6 三个中值定理之间的关系97

3.1.7 泰勒公式97

3.1.8 一些重要的麦克劳林公式99

3.2 洛必达法则101

3.2.1 基本未定式101

3.2.2 其他未定式102

3.2.3 使用洛必达法则的注意事项103

3.3 函数的单调性104

3.3.1 函数单调性的判定定理104

3.3.2 求函数的单调区间的步骤104

3.3.3 函数的单调性的应用104

3.4.2 极值的必要条件106

3.4.3 极值的充分条件106

3.4 函数的极值与最值106

3.4.1 极值的定义106

3.4.4 求函数极值的步骤108

3.4.5 函数的最值108

3.5 曲线的凹凸性与拐点110

3.5.1 曲线的凹凸性110

3.5.2 拐点112

3.5.3 利用凹凸性证明不等式114

3.6 渐近线114

3.6.1 渐近线的定义及类型114

3.6.2 求渐近线的步骤115

3.6.3 求渐近线的一些特殊方法116

3.7.2 曲率的计算公式117

3.7 曲率117

3.7.1 曲率的定义117

3.7.3 曲率半径与曲率圆118

第4章 不定积分119

4.1 不定积分的概念与性质119

4.1.1 原函数的概念与性质119

4.1.2 不定积分的概念与性质119

4.1.3 分段函数的不定积分120

4.2 不定积分公式121

4.2.1 基本积分公式121

4.2.2 其他常用的积分公式122

4.2.3 6个三角函数的平方的积分公式123

4.3 换元积分法124

4.3.1 第一类换元法（凑微分法）124

4.2.4 有关双曲函数的积分公式124

4.3.2 第一类换元法常见类型125

4.3.3 其他凑微分公式126

4.3.4 第二类换元法127

4.3.5 第二类换元法常见类型127

4.4 分部积分法130

4.4.1 分部积分法130

4.4.2 常见的分部积分法类型130

4.4.3 反函数的不定积分133

4.5 有理函数的积分133

4.5.1 有理函数的积分133

4.5.2 三角有理函数的积分134

4.5.3 一些“积不出”的不定积分135

5.1 定积分的概念与性质137

5.1.1 定积分的概念137

第5章 定积分137

5.1.2 定积分的性质140

5.1.3 积分模型一览表142

5.2 微积分基本公式143

5.2.1 积分上限函数及其导数143

5.2.2 微积分基本公式（牛顿－莱布尼茨公式）144

5.3 定积分的换元积分法和分部积分法145

5.3.1 定积分的凑微分法145

5.3.2 定积分的换元法145

5.3.3 一些重要的定积分等式146

5.3.4 一些含参数的积分等式150

5.3.5 奇（偶）函数及周期函数的原函数与定积分150

5.3.6 分段函数的定积分153

5.3.7 定积分的分部积分法153

5.3.8 反函数的定积分154

5.4 广义积分156

5.4.1 无穷限的广义积分的定义156

5.4.2 几个重要的无穷限的广义积分156

5.4.3 无穷限的广义积分的计算方法158

5.4.4 无界函数的广义积分（瑕积分）的定义158

5.4.5 几个重要的无界函数的广义积分159

5.4.6 无界函数的广义积分的计算方法159

5.4.7 Γ函数161

第6章 定积分的应用162

6.1 平面图形的面积162

6.1.1 直角坐标情形162

6.1.2 极坐标情形163

6.1.3 参数曲线情形163

6.2.2 旋转体的体积165

6.2 体积165

6.2.1 平行截面面积为已知的立体的体积165

6.3 平面曲线的弧长 旋转曲面的面积167

6.3.1 弧微分公式167

6.3.2 平面曲线的弧长168

6.3.3 旋转曲面的面积169

6.4 定积分在物理学中的应用170

6.4.1 变力沿直线所做的功170

6.4.2 抽水做功170

6.4.3 水压力171

第7章 空间解析几何与向量代数173

7.1 向量及其线性运算173

7.1.1 向量的概念173

7.1.2 向量的线性运算173

7.1.3 空间直角坐标系175

7.1.4 利用坐标进行向量的线性运算176

7.2 数量积 向量积 混合积177

7.2.1 数量积177

7.2.2 数量积的坐标运算178

7.2.3 向量积179

7.2.4 向量积的坐标运算180

7.2.5 混合积181

7.2.6 混合积的坐标运算182

7.3 曲面及其方程183

7.3.1 曲面方程的类型183

7.3.2 球面184

7.3.3 旋转曲面184

7.3.4 一些旋转曲面186

7.3.6 一般旋转曲面的求法187

7.3.5 旋转曲面的参数方程187

7.3.7 柱面189

7.3.8 一些柱面190

7.3.9 一般柱面的求法190

7.3.10 锥面191

7.3.11 一些二次曲面193

7.4 空间曲线及其方程194

7.4.1 空间曲线方程的类型194

7.4.2 一些重要的空间曲线195

7.4.3 空间曲线在坐标面上的投影曲线195

7.5 平面及其方程196

7.5.1 平面方程196

7.5.2 具有特殊位置的平面197

7.5.3 两平面之间的位置关系198

7.5.4 三平面之间的位置关系199

7.6 空间直线及其方程201

7.6.1 空间直线方程201

7.6.2 两直线之间的位置关系202

7.6.3 直线与平面之间的位置关系203

7.6.4 距离公式204

7.6.5 平面束206

第8章 多元函数微分法及其应用207

8.1 多元函数的基本概念207

8.1.1 多元函数的概念207

8.1.2 多元函数的极限208

8.1.3 多元函数的连续性209

8.2 偏导数210

8.2.1 偏导数的定义210

8.2.3 多元函数可偏导与连续性的关系211

8.2.2 求偏导数的方法211

8.2.4 高阶偏导数212

8.3 全微分213

8.3.1 全微分的定义213

8.3.2 多元函数可微的必要条件和充分条件213

8.3.3 多元函数可微、可偏导、连续和有极限之间的关系214

8.3.4 全微分的计算公式214

8.3.5 全微分在近似计算中的应用215

8.4 多元复合函数的微分法215

8.4.1 多元复合函数的求导法则：链式法则215

8.4.2 多元复合函数的二阶偏导数217

8.4.3 复合函数的全微分——全微分形式不变性218

8.4.4 偏导数的变量代换219

8.5.1 由一个方程所确定的隐函数的导数和偏导数220

8.5 隐函数的微分法220

8.5.2 隐函数求偏导数的方法221

8.5.3 由方程组所确定的隐函数的导数和偏导数222

8.5.4 反函数组的雅可比行列式224

8.6 多元函数微分学的几何应用225

8.6.1 空间曲线的切线与法平面225

8.6.2 曲面的切平面与法线226

8.6.3 二次曲面的切平面的简便求法226

8.7 方向导数与梯度227

8.7.1 方向导数和梯度的定义227

8.7.2 方向导数的计算公式228

8.7.3 梯度的运算律229

8.8 多元函数的极值230

8.8.1 多元函数极值的必要条件230

8.8.3 求二元函数极值的步骤231

8.8.2 二元函数极值的充分条件231

8.8.4 多元函数极值的充分条件232

8.8.5 条件极值 拉格朗日乘数法233

第9章 重积分236

9.1 二重积分的概念与性质236

9.1.1 二重积分的概念236

9.1.2 二重积分的性质237

9.2 二重积分的计算238

9.2.1 利用直角坐标计算二重积分238

9.2.2 计算二重积分的步骤240

9.2.3 交换积分次序241

9.2.4 利用对称性化简二重积分242

9.2.5 利用极坐标计算二重积分244

9.2.6 二重积分的变量替换247

9.3.1 二重积分的几何应用250

9.3 二重积分的应用250

9.3.2 二重积分的物理应用251

9.4 三重积分的概念与计算253

9.4.1 三重积分的概念与性质253

9.4.2 利用直角坐标计算三重积分253

9.4.3 三重积分的“先二后一”积分法254

9.4.4 利用对称性化简三重积分255

9.5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分257

9.5.1 柱面坐标257

9.5.2 利用柱面坐标计算三重积分259

9.5.3 球面坐标260

9.5.4 利用球面坐标计算三重积分262

9.5.5 选择适当的坐标计算三重积分的方法263

9.5.6 三重积分的变量替换264

9.5.7 三重积分的物理应用265

第10章 曲线积分与曲面积分266

10.1 对弧长的曲线积分266

10.1.1 对弧长的曲线积分的概念266

10.1.2 对弧长的曲线积分的性质267

10.1.3 对弧长的曲线积分的计算267

10.1.4 对弧长的曲线积分化为定积分的步骤268

10.1.5 利用对称性化简对弧长的曲线积分269

10.1.6 对弧长的曲线积分的应用271

10.1.7 对弧长的曲线积分的其他物理应用271

10.2 对坐标的曲线积分272

10.2.1 对坐标的曲线积分的概念272

10.2.2 对坐标的曲线积分的性质273

10.2.3 对坐标的曲线积分的计算274

10.2.4 对坐标的曲线积分化为定积分的步骤275

10.2.5 对坐标的曲线积分的应用275

10.2.6 两类曲线积分之间的联系276

10.3 格林公式276

10.3.1 格林公式276

10.3.2 利用格林公式计算对坐标的曲线积分277

10.4 平面上曲线积分与路径无关的条件279

10.4.1 曲线积分与路径无关的等价条件279

10.4.2 曲线积分的基本定理279

10.4.3 利用曲线积分与路径无关的条件计算曲线积分280

10.4.4 二元函数的全微分求积281

10.4.5 选择对坐标的曲线积分的计算方法281

10.5 对面积的曲面积分282

10.5.1 对面积的曲面积分的概念与性质282

10.5.2 对面积的曲面积分的计算283

10.5.3 对面积的曲面积分化为二重积分的步骤284

10.5.4 利用对称性化简对面积的曲面积分284

10.5.5 对面积的曲面积分的应用286

10.6 对坐标的曲面积分286

10.6.1 对坐标的曲面积分的概念与性质286

10.6.2 对坐标的曲面积分的计算288

10.6.3 计算对坐标的曲面积分的“三合一”公式288

10.6.4 对坐标的曲面积分的应用289

10.6.5 两类曲面积分之间的联系290

10.7 高斯公式290

10.7.1 高斯公式290

10.7.2 利用高斯公式计算对坐标的曲面积分291

10.8.1 散度与旋度292

10.8 散度与旋度 斯托克斯公式292

10.7.3 选择对坐标的曲面积分的计算方法292

10.8.2 散度和旋度的运算法则293

10.8.3 梯度、散度、旋度的二阶运算294

10.8.4 斯托克斯公式294

第11章 无穷级数296

11.1 常数项级数的概念与性质296

11.1.1 无穷级数的收敛与发散296

11.1.2 无穷级数的性质296

11.1.3 几个重要的级数298

11.2 正项级数的审敛法299

11.2.1 正项级数的收敛定理299

11.2.2 比较审敛法299

11.2.3 常用来进行比较的正项级数302

11.2.4 比值审敛法303

11.2.5 根值审敛法304

11.2.6 积分审敛法305

11.2.7 正项级数的一些性质305

11.3 任意项级数的敛散性306

11.3.1 绝对收敛与条件收敛306

11.3.2 绝对收敛的审敛法307

11.3.3 绝对收敛（条件收敛）级数的运算性质308

11.3.4 交错级数及其审敛法308

11.3.5 级数的重排 绝对收敛与条件收敛的区别309

11.3.6 判断级数敛散性的一般步骤311

11.3.7 利用级数收敛的必要条件证明数列极限？un=0311

11.3.8 一些无穷级数的和312

11.4 幂级数312

11.4.1 幂级数及其收敛性312

11.4.2 幂级数的收敛半径和收敛区间314

11.4.3 求幂级数的收敛半径和收敛域的步骤315

11.4.4 幂级数的运算316

11.4.5 和函数的分析性质316

11.4.6 几个常见的幂级数的和函数317

11.5 函数展开成幂级数318

11.5.1 泰勒级数318

11.5.2 一些函数的麦克劳林级数319

11.5.3 函数展开成幂级数的方法319

11.6 傅里叶级数320

11.6.1 傅里叶级数320

11.6.2 傅里叶级数的收敛定理321

11.6.3 奇（偶）函数的傅里叶级数322

11.6.4 周期函数展开成傅里叶级数的步骤322

11.6.6 周期延拓与奇（偶）延拓323

11.6.5 如何写出函数的傅里叶级数的和函数323

11.6.7 周期为2l的周期函数的傅里叶级数324

第12章 微分方程326

12.1 微分方程的基本概念326

12.1.1 微分方程326

12.1.2 微分方程的解326

12.1.3 微分方程的初值问题326

12.2 一阶微分方程327

12.2.1 简单的一阶微分方程327

12.2.2 可分离变量的微分方程327

12.2.3 齐次方程328

12.2.4 一阶线性微分方程329

12.2.5 伯努利方程330

12.2.6 全微分方程（恰当方程）331

12.3.2 两种特殊的二阶微分方程332

12.3 可降阶的高阶微分方程332

12.3.1 y(n)=f（x）型的微分方程332

12.4 高阶线性微分方程333

12.4.1 齐次线性微分方程的通解结构333

12.4.2 函数组的线性相关性334

12.4.3 非齐次线性微分方程的通解结构334

12.4.4 非齐次线性微分方程的解的叠加原理335

12.4.5 二阶常系数齐次线性微分方程336

12.4.6 二阶常系数非齐次线性微分方程337

12.4.7 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法338

12.4.8 二阶常系数非齐次线性微分方程的复数解法339

12.4.9 欧拉方程340

参考文献342

A.1.3 不等式343

A.1.2 一元二次方程343

附录A 常用初等数学公式343

A.1 初等代数343

A.1.1 乘法和因式分解343

A.1.4 指数344

A.1.5 对数344

A.1.6 复数345

A.1.7 数列345

A.1.8 行列式346

A.1.9 线性方程组的解（克拉默法则）346

A.2 初等几何347

A.2.1 平面图形347

A.2.2 立体图形348

A.3.2 三角函数的定义349

A.3.3 三角函数的基本关系349

A.3.1 弧度和度的关系349

A.3 三角函数349

A.3.4 诱导公式350

A.3.5 特殊的三角函数值350

A.3.6 和差公式351

A.3.7 倍角公式与半角公式351

A.3.8 积化和差与和差化积公式351

A.3.9 三角形的边角关系351

A.4 解析几何352

A.4.1 直线352

A.4.2 二次曲线353

A.4.3 参数方程354

A.4.4 极坐标355