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第一章 一阶微分方程1

1.1微分方程和解1

1.1.1微分方程与数学模型1

1.1.2定义和术语3

1.1.3初值问题5

1.2积分法与可分离变量方程8

1.2.1积分法8

1.2.2可分离变量方程9

1.2.3变量替换13

1.3线性方程19

1.3.1指数积分因子法20

1.3.2常数变易法22

1.3.3化非线性为线性24

1.4恰当方程27

1.4.1恰当方程的定义27

1.4.2积分因子33

1.5一阶隐式微分方程36

第二章 一阶线性常微分方程组41

2.1矩阵与矩阵函数分析初步42

2.1.1矩阵的特征值与特征向量42

2.1.2矩阵范数，矩阵序列的收敛性与矩阵指数42

2.1.3矩阵函数与向量函数43

2.1.4若尔当块矩阵的矩阵指数函数45

2.1.5向量函数组的线性相关与线性无关性46

2.2解的存在与唯一性48

2.3线性常微分方程组的通解53

2.3.1线性齐次微分方程组的通解53

2.3.2线性非齐次微分方程组的通解59

2.4常系数线性常微分方程组的通解64

2.4.1常系数线性微分方程组的解的基本表达式64

2.4.2常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵66

2.4.3常系数非齐次线性微分方程组的求解76

第三章 高阶线性常微分方程79

3.1高阶线性常微分方程与一阶线性常微分方程组79

3.2高阶线性微分方程的通解82

3.2.1齐次线性方程的通解85

3.2.2非齐次线性方程的通解87

3.3高阶常系数线性齐次微分方程的通解90

3.3.1特征根均是单根的情形91

3.3.2特征根有重根的情形93

3.4高阶常系数非齐次线性微分方程的通解96

3.4.1类型Ⅰ97

3.4.2类型Ⅱ99

3.5幂级数解法与拉普拉斯变换法简介102

3.5.1幂级数解法102

3.5.2拉普拉斯变换法103

第四章 非线性微分方程基本理论106

4.1存在与唯一性定理106

4.2解的延拓112

4.3解对初值和参数的连续性与可微性118

第五章 定性理论与分支方法初步124

5.1基本概念124

5.2李雅普诺夫函数方法130

5.2.1李雅普诺夫函数方法130

5.2.2双曲奇点的稳定性132

5.3一维周期微分方程137

5.4细焦点与极限环143

5.4.1细焦点及其稳定性144

5.4.2极限环及其稳定性148

5.4.3极限环的存在性152

5.5常见分支现象举例155

5.5.1鞍结点分支与叉型分支156

5.5.2 Hopf分支与同宿分支158

5.5.3近哈密顿系统160

第六章 常微分方程边值问题163

6.1基本概念及其可解性163

6.1.1边值问题的分类165

6.1.2边值问题的可解性166

6.2 Sturm-Liouville边值问题的特征值和特征函数168

6.2.1特征值和特征函数168

6.2.2特征值和特征函数的性质170

6.3格林函数172

6.4上下解方法175

6.4.1单调迭代方法175

6.4.2上下解方法180

参考文献182