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目录1

第一章　方程的导出和分类1

§1.1　方程的导出和定解条件1

1．波动方程1

2．热传导方程5

3．拉普拉斯方程和波阿松（Poisson）方程7

4．定解条件8

5．定解问题的适定性12

§1.2 二阶线性偏微分方程的分类13

1．两个自变量函数的二阶线性方程14

2．多个自变量函数的二阶线性方程20

习题一22

第二章　柯西问题（初值问题）25

§2.1　一维齐次波动方程的初值问题26

1．达朗贝尔公式26

2．解的物理意义28

3．依赖区域、影响区域和决定区域30

1．球对称三维波动方程的解31

§2.2　多维齐次波动方程的初值问题31

2．三维波动方程的泊松公式32

3．二维波动方程柯西问题的泊松公式36

§2.3　非齐次波动方程的初值问题38

1．一维非齐次波动方程的初值问题38

2．三维非齐次波动方程的初值问题40

习题二42

1．物理模型44

第三章　分离变量法44

§3.1　有界弦的自由振动44

2．分离变量法46

§3.2　用分离变量法解其它定解问题53

§3.3　非齐次泛定方程的混合问题61

1．齐次化原理62

2．固有函数法（试探法）64

§3.4　非齐次边界条件的处理68

习题三77

第四章　固有值问题81

§4.1　斯图姆-刘维尔问题81

1．斯图姆-刘维尔问题的来源81

2．斯图姆-刘维尔问题的基本定理86

§4.2　贝塞尔函数90

1．贝塞尔方程及其通解90

2．贝塞尔函数的零点，递推公式94

3．函数的富里埃-贝塞尔级数97

§4.3　贝塞尔函数应用举例102

§4.4　勒让德函数106

1．勒让德多项式、递推公式106

2．勒让德多项式的正交性与富里埃-勒让德级数112

§4.5　勒让德函数的应用举例119

习题四121

第五章　边值问题125

§5.1　边值问题的提法125

3．第三边值问题126

2．第二边值问题126

1．第一边值问题126

4．第四边值问题127

5．狄利克莱外问题128

6．牛曼外问题128

§5.2　边值问题的解法129

1．圆域的狄利克莱问题、泊松积分公式129

2．圆环域的狄利克莱问题133

3．圆域的牛曼问题134

4．矩形域的狄利克莱问题135

5．泊松方程的狄利克莱问题137

6．矩形域的牛曼问题、格仁贝尔方法139

7．立方体的狄利克莱问题142

8．圆柱体的狄利克莱问题144

9．球体的狄利克莱问题148

§5.3　视察法解边值问题151

习题五155

1．格林公式158

§6.1　格林公式及其应用158

第六章　格林函数法158

2．格林公式的应用160

§6.2 δ函数、基本解163

1．多维δ函数及其性质163

2．基本解164

§6.3　格林函数及其性质167

§6.4　静电源像法172

1．圆域的格林函数及狄利克莱问题的解173

2．上半平面的格林函数及狄利克莱问题的解175

3．四分之一平面的格林函数及狄利克莱问题的解176

4．半圆域的格林函数及狄利克莱问题的解177

5．半空间区域的格林函数及狄利克莱问题的解179

6．球域的格林函数及狄利克莱问题的解181

§6.5　热传导方程与波动方程的格林函数法183

1．热传导方程的格林函数法183

2．弦振动方程的格林函数法185

习题六188

1．富里埃积分190

第七章　积分变换法190

§7.1　富里埃积分和富里埃变换190

2．富里埃变换及其逆变换192

§7.2 富里埃变换的基本性质199

1．富里埃变换的运算性质199

2．卷积和它的性质201

§7.3　用富里埃变换法解微分方程206

1．用富里埃变换法解常微分方程206

2．解偏微分方程206

§7.4　拉普拉斯变换214

1．拉普拉斯变换的概念215

2．拉普拉斯变换的存在定理215

3．拉普拉斯变换计算举例216

§7.5　拉普拉斯变换的性质及反演积分218

1．拉普拉斯变换的性质218

2．常用函数的拉普拉斯变换223

3．拉普拉斯逆变换的求法225

1．解线性常微分方程231

§7.6　用拉普拉斯变换法求解微分方程231

2．解线性偏微分方程235

习题七245

第八章　定解问题的近似解法249

§8.1　差分法249

1．基本概念249

2．拉普拉斯方程边值问题的差分解法254

3．波动方程第一类边界条件混合问题的差分解法261

4．热传导方程的差分格式264

§8.2　变分方法266

1．变分问题267

2．基本引理、极值的必要条件269

3．变分原理（狄利克莱定理）273

4．里兹法274

5．伽辽金法280

§8.3　有限元法284

1．区域网格的剖分284

2．列出计算格式285

习题八289

第九章 定解问题的适定性291

§9.1　波动方程292

1．混合问题292

2．初值问题298

§9.2　热传导方程300

1．混合问题300

2．初值问题304

§9.3　拉普拉斯方程309

习题九319

附录Ⅰ Γ函数的基本知识322

附录Ⅱ 富氏变换与拉氏变换简表327

附录Ⅲ 分离变量法表解332

附录Ⅳ　格林函数法表解336

附录Ⅴ 一些预备知识338

习题参考答案343

参考书目353