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第一章 复数1

第一节 复数的概念1

1.1 复数的定义1

1.2 复数的几何表示2

第二节 复数的代数运算5

2.1 复数的加、减法5

2.2 复数的乘、除法7

2.3 积、商的模与辐角11

2.4 复数的开方17

第三节 复球面21

小结22

复习思考题23

综合题24

第二章 复变函数26

第一节 复变量26

1.1 曲线26

1.2 区域31

第二节 复变函数的概念36

2.1 复变函数的定义36

2.2 复变函数的几何意义37

第三节 复变函数的极限和连续性45

3.1 复变函数的极限45

3.2 复变函数的连续性48

小结50

复习思考题54

综合题55

第三章 解析函数57

第一节 解析函数的概念57

1.1 复变函数的导数57

1.2 解析函数的定义61

第二节 函数解析的充分必要条件62

第三节 解析函数与调和函数67

3.1 调和函数的概念67

3.2 共轭调和函数69

3.3 解析函数与调和函数的关系69

第四节 初等解析函数73

4.1 指数函数74

4.2 对数函数80

4.3 三角函数84

4.4 反三角函数87

4.5 幂函数88

4.6 双曲函数与反双曲函数91

小结92

复习思考题100

综合题100

第四章 积分103

第一节 复变函数积分的概念103

1.1 有向曲线103

1.2 复变函数积分的定义104

1.3 积分存在的充分条件105

1.4 复变函数积分的性质108

1.5 积分的计算110

第二节 柯西积分定理117

2.1 柯西基本定理117

2.2 原函数118

2.3 柯西基本定理在复合闭路上的推广121

第三节 柯西积分公式及高阶导数公式125

3.1 柯西积分公式125

3.2 高阶导数公式129

小结135

复习思考题140

综合题141

第一阶段测验题(一、二、三、四章)143

第五章 台劳级数与罗朗级数145

第一节 复数项级数145

1.1 复数项级数的概念145

1.2 复变函数项级数150

1.3 幂级数151

第二节 解析函数的台劳级数157

2.1 解析函数的台劳展开式157

2.2 解析函数的零点165

第三节 解析函数的罗朗级数167

3.1 含正、负整次幂的级数167

3.2 解析函数的罗朗展开式170

第四节 孤立奇点178

4.1 孤立奇点及其分类178

4.2 孤立奇点类型的判别179

4.3 极点与零点的关系183

小结185

复习思考题191

综合题192

第六章 留数195

第一节 留数概念及基本定理195

1.1 留数的概念195

1.2 留数基本定理199

1.3 函数在极点上的留数201

第二节 应用留数计算实积分207

2.1 有理式 R(cosθ，sinθ)在区间［0，2π］上的定积分207

2.2 既约有理真分式 P(χ)/Q(χ)在(-∞，+∞)上的积分209

2.3 P(χ)/Q(χ)etmχ在(-∞,+∞)上的积分212

小结213

复习思考题221

综合题221

第七章 保角映射223

第一节 保角映射的概念223

1.1 导数的几何意义223

1.2 保角映射的定义228

1.3 保角映射的两个基本问题231

第二节 分式线性映射235

2.1 线性映射236

2.2 倒数映射238

2.3 分式线性映射的特性241

2.4 唯一确定分式线性映射的条件242

2.5 分式线性映射的应用246

第三节 指数函数及幂函数所确定的映射253

3.1 指数函数确定的映射253

3.2 幂函数确定的映射256

小结260

复习思考题264

综合题265

第二阶段测验题(五、六、七章)267

答案269