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- 明清河著 著
- 出版社: 济南:山东大学出版社
- ISBN:7560728014
- 出版时间:2004
- 标注页数:322页
- 文件大小:10MB
- 文件页数:337页
- 主题词:数学分析
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图书目录
第一章 数学分析中体现的数学思想1
一、函数的思想1
1.函数概念的产生与发展1
2.函数概念的本质5
3.函数思想在数学分析中的应用7
二、极限的思想12
1.极限思想的产生与发展13
2.极限思想的思维功能16
3.建立概念的极限思想17
4.解决问题的极限思想18
三、连续的思想19
1.连续思想的产生和发展19
2.连续思想的解释20
3.连续思想的应用22
四、导数的思想27
1.导数概念的引入27
2.导数的定义30
3.导数定义的理解31
4.导数思想的应用31
五、微分的思想37
1.微分思想的产生和发展37
2.微分思想的解释38
3.导数与微分的联系与区别39
4.微分思想的应用40
六、积分的思想41
1.积分思想的产生与发展41
2.积分思想的理解41
3.积分思想中的辩证法44
4.不定积分与定积分的比较45
5.定积分的应用48
七、级数的思想49
1.级数理论的意义49
2.数列与数项级数的关系50
3.函数项级数一致收敛的作用51
4.傅立叶级数研究的基本问题52
5.级数理论的应用53
第二章 数学分析中蕴含的哲学思想56
一、直与曲的思想56
1.近似计算中的直与曲57
2.利用积分解决实际问题中的直与曲57
二、常量与变量的思想61
1.常量与变量的相对性61
2.通过常量来刻画变量62
3.通过变量来研究常量63
三、有限与无限的思想64
1.有限与无限的质的差异64
2.有限与无限的联系与转化66
3.阿基里斯悖论中的有限与无限68
4.《庄子》中的有限与无限70
5.数列极限“ε-N”定义中的有限与无限71
6.几个等式中的有限与无限73
四、局部与整体的思想73
1.微元法中的局部与整体73
2.闭区间套定理应用中的局部与整体74
3.有限覆盖定理应用中的局部与整体76
4.闭区间上连续函数性质中的局部与整体78
5.函数项级数和函数分析性质中的局部与整体80
五、近似与精确的思想81
1.概念建立中的近似与精确81
2.微元法中的近似与精确84
六、特殊与一般的思想86
1.一般与特殊举例86
2.解题中的特殊与一般87
3.概念建立中的特殊与一般90
4.概念和定理获得中的特殊与一般90
七、连续与不连续的思想91
1.解题中连续与离散的转化91
2.理论中连续与离散的对应92
3.内容中连续与间断的转化96
八、对立与统一的思想96
1.概念定义中的对立与统一98
2.解题过程中的对立与统一99
九、量变与质变的思想100
1.解题中的量变与质变100
2.推广中的量变与质变101
十、否定与肯定的思想101
1.概念形成中的否定与肯定102
2.解题过程中的否定与肯定104
第三章 数学分析中常用的数学思想107
一、类比的思想107
1.运用类比揭示概念108
2.运用类比引出命题109
3.运用类比解决问题110
二、变换的思想115
1.恒等变换116
2.映射变换118
3.参数变换120
4.离散—连续变换122
三、构造的思想123
1.构造函数123
2.构造数列(级数)132
3.构造结论134
4.构造不等式135
5.构造图形138
6.构造反例138
四、递推的思想138
1.极限运算中的递推138
2.求导运算中的递推140
3.积分运算中的递推141
4.级数理论中的递推143
五、猜想的思想145
1.由归纳产生猜想146
2.由直观产生猜想149
3.由类比产生猜想150
六、反例的思想153
1.数学分析中反例的作用153
2.数学分析中反例的构造158
七、不动点的思想161
1.连续函数的不动点问题161
2.单调函数的不动点问题163
3.递推数列的不动点问题166
八、化归转化的思想169
1.概念建立中的化归转化169
2.内容处理上的化归转换171
3.解题策略上的化归转化177
九、以退求进的思想186
1.概念建立中的以退求进187
2.解题过程中的以退求进189
十、分段处理的思想192
1.分段函数性质讨论的分段处理192
2.复杂和式、乘积式的分段处理199
3.函数分析性质讨论中的分段处理200
4.积分等式证明的分段处理202
5.中值定理应用中的分段处理204
十一、数形结合的思想207
1.通过数形结合掌握概念207
2.通过数形结合理解与证明性质214
3.通过数形结合解决问题225
十二、分类讨论的思想229
1.极限问题中的分类思想229
2.连续性问题中的分类讨论232
3.可积性问题中的分类讨论232
4.级数敛散性问题中的分类讨论235
十三、特殊化与一般化的思想237
1.由特殊到一般建立概念239
2.由特殊到一般发展理论239
3.由特殊到一般推厂结论239
4.先特殊后一般,由特殊推一般240
5.先一般后特殊,由一般求特殊247
第四章 数学美与数学分析中的美学思想252
一、数学美252
1.有关数学美的一些论述252
2.数学美的本质与特征253
3.数学美与数学创造254
4.数学美的基本内容255
二、数学分析中的美学思想261
1.统一美261
2.对称美263
3.奇异美267
4.简洁美270
5.符号美272
6.形式美272
7.抽象美274
8.实用美275
第五章 微积分创立过程中数学家的思想和方法279
一、微积分孕育时期数学家的思想方法280
1.德谟克利特的数学原子论思想280
2.欧多克斯的穷竭法281
3.刘徽的割圆术281
4.祖暅原理282
5.阿基米德的求积方法283
二、微积分创立时期数学家的思想方法284
1.开普勒的同维无穷小方法285
2.伽利略的运动观点286
3.卡瓦列利的不可分量法287
4.瓦里斯和巴斯卡的分析方法288
5.费马的“分割求和”方法288
6.费马的求切线方法289
7.费马的求极值方法289
8.巴罗的求切线方法290
9.牛顿建立微积分的思想方法290
10.莱布尼兹建立微积分的思想方法293
三、微积分发展与完善时期数学家的思想方法295
1.欧拉对微积分内容的扩展方法296
2.波尔查诺的严格论证方法300
3.柯西的极限理论与方法301
4.魏尔斯特拉斯的分析算术化方法303
5.戴德金的实数理论方法304
附录:古代数学家解题思想举例308
主要参考文献321
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