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前言页1

第一章 Cauchy型积分1

1.1 光滑曲线1

1.1.1 光滑曲线的概念1

1.1.2 光滑曲线的某些性质3

1.2 H类函数及其基本性质7

1.2.1 H？lder条件与H类函数7

1.2.2 H类函数的基本性质9

1.2.3 Lyapunov(Ляпyнов)曲线12

1.3 分片解析函数16

1.3.1 分片连续函数16

1.3.2 分片解析函数18

1.4 Cauchy型积分及其主值19

1.4.1 Cauchy型积分的定义19

1.4.2 Cauchy型积分的主值22

1.5.1 Cauchy型积分的边界值28

1.5 Coxoцkий-Plemelj公式28

1.5.2 Coxoцkий-Plemelj公式32

1.5.3 曲线上角点处的Plemelj公式34

1.6 Cauchy型积分及其边界值的H？lder连续性36

1.6.1 Cauchy型积分边界值的H?lder连续性36

1.6.2 Cauchy型积分的H？lder连续性39

1.6.3 Cauchy型积分边界值的微商46

1.7 无穷直线上的Cauchy型积分48

1.7.1 实轴上的Cauchy型积分49

1.7.2 实轴上的Coxoцkий-Plemelj公式53

1.7.3 实轴上的Cauchy型积分在无穷远点的性质54

1.7.4 实轴上的Cauchy型积分的微商55

1.8 复合曲线上的Cauchy型积分57

1.8.1 复合曲线上的Plemelj公式57

1.8.2 解析函数边界值的条件59

1.8.3 亚纯函数边界值的条件62

1.9.1 密度中含有参数的Cauchy主值积分的H？lder连续性64

1.9 Poincaré--Bertrand积分换序公式64

1.9.2 累次积分中一个积分为奇异的情况67

1.9.3 Poincaré--Bertrand积分换序公式69

1.9.4 闭曲线上Cauchy主值积分的反演公式72

1.10 解析函数的实部和虚部之边界值的Hilbert公式73

1.10.1 单位圆上的Schwarz核与Cauchy核的关系73

1.10.2 Hilbert公式74

1.11 Cauchy型积分与位势76

习题一78

第二章 基本边值问题84

2.1 引言84

2.1.1 指标的概念84

2.1.2 辅助定理86

2.1.3 Riemann边值问题的提法87

2.1.4 跳跃问题及其解法88

2.2.1 齐次R问题及其指标89

2.2 齐次Riemann边值问题89

2.2.3 单连域上齐次R问题的解90

2.2.3 典则函数94

2.2.4 多连域上齐次R问题的解95

2.3 非齐次Riemann边值问题100

2.3.1 非齐次R问题的解100

2.3.2 相联R问题102

2.3.4 具有有理系数的R问题103

2.4 无穷直线上的Riemann边值问题109

2.5 非正则型的Riemann边值问题117

2.5.1 齐次R问题的解117

2.5.2 非齐次R问题的解118

2.6 单连域上的Hilbert边值问题122

2.6.1 Hilbert边值问题的提法122

2.6.2 单位圆内的函数在圆外的对称扩张123

2.6.3 单位圆内的H问题125

2.6.4 单连域上的H问题138

2.6.5 半平面中的H问题139

2.6.6 正则化因子·外区域上的H问题145

习题二153

第三章 具有Cauchy核与Hilbert核的奇异积分方程158

3.1 Cauchy核的奇异积分方程与奇异算子158

3.1.1 基本概念与记号158

3.1.2 奇异积分算子的基本性质161

3.2 特征方程及其相联方程的解166

3.2.1 特征方程的解166

3.2.2 特征方程的相联方程的解171

3.2.3 特征方程的N？ether定理173

3.2.4 特征方程在角点处的解176

3.3 奇异积分方程的正则化及一般N?ether定理178

3.3.1 奇异积分方程的正则化178

3.3.2 Fredholm方程解的H？lder连续性179

3.3.3 И.H.Bekya等价性定理181

3.3.4 一般N？ether定理183

3.3.5 奇异积分方程与Fredholm方程的对比186

3.3.6 Carleman-Bekya正则化方法188

3.4 共轭算子与共轭方程的等价正则化190

3.4.1 共轭算子与共轭方程190

3.4.2 非齐次奇异积分方程可解性条件的另一种形式192

3.4.3 方程的等价正则化定理193

3.4.4 例子195

3.5 非正则型的奇异积分方程200

3.5.1 特征方程的解201

3.5.2 完全方程的正则化204

3.6 具有Hilbert核的奇异积分方程206

3.6.1 特征方程与Hilbert边值问题的联系206

3.6.2 齐次特征方程的解207

3.6.3 非齐次特征方程的解210

3.6.4 常系数的特征方程214

3.6.5 完全方程及其正则化216

3.6.6 具有Hilbert核的方程的基本性质218

习题三219

第四章 边值问题的某些推广224

4.1 单连域上的RH问题224

4.1.1 RH问题的提法与转化224

4.1.2 RH问题的解227

4.2 带位移的Riemann边值问题231

4.2.1 带位移的Riemann边值问题的解231

4.2.2 保角粘合定理及SR问题向R问题的转化241

4.3 有界单连域内的Carleman边值问题248

4.3.1 问题的提法及可解条件249

4.3.2 积分表示式·具有给定跳跃的C问题251

4.3.3 保角粘合定理257

4.3.4 闭曲线上的C问题化为开口弧段上的R问题263

4.3.5 例子267

4.4.1 核密度属于H类函数的情形270

4.4 在积分曲线端点和在核密度的间断点上Cauchy型积分的性质270

4.4.2 核密度具有第一类间断点的情形273

4.4.3 H*类函数274

4.4.4 核密度属于H*时Cauchy型积分的性质278

4.4.5 核密度属于H*时Cauchy主值积分的性质284

4.4.6 积分路线上具有结点的情形286

4.5 开口弧段上的Riemann边值问题287

4.5.1 问题的提法287

4.5.2 齐次R问题的解289

4.5.3 非齐次R问题的解293

4.5.4 若干开口弧段上的R问题295

4.6 具有间断系数的Riemann边值问题296

4.6.1 带结点曲线上的R问题296

4.6.2 带结点曲线的相联齐次R问题300

4.6.3 具有间断系数的R问题302

4.7 多连域上解析函数Haseman边值问题解的估计306

习题四316

第五章 解析向量边值问题与奇异积分方程组322

5.1 基本概念·Plemelj公式322

5.1.1 基本概念·术语和记号322

5.1.2 Plemelj公式323

5.2 解析向量的Riemann边值问题325

5.2.1 解析向量的Riemann边值问题的提法325

5.2.2 解析向量的跳跃R问题和齐次R问题326

5.2.3 解析向量的齐次R问题的典则解组328

5.2.4 解析向量的齐次R问题的指标与通解333

5.2.5 解析向量的相联齐次R问题335

5.2.6 解析向量的非齐次R问题338

5.2.7 具有有理系数矩阵的R问题340

5.3 解析向量的Hilbert边值问题343

5.3.1 解析向量的Hilbert边值问题的提法343

5.3.2 典则矩阵的一般表示343

5.3.3 解析向量的齐次H问题345

5.3.4 解析向量的非齐次H问题350

5.4 解析向量的复合边值问题351

5.5 奇异积分方程组353

5.5.1 特征奇异积分方程组353

5.5.2 特征方程组的相联方程组356

5.5.3 完全奇异积分方程组及其正则化358

5.5.4 奇异积分方程组的N？ether定理361

5.5.5 奇异积分组的反演公式363

习题五365

第六章 一阶椭圆组与二维奇异积分算子367

6.2 方程组的复形式367

6.2 C-z类函数368

6.2.1 Pompeiu意义下复函数的微商定义368

6.2.2 C？类函数的一般积分表示式371

6.2.3 Ocтрогpaдckий公式375

6.2.4 C？类函数的连续性特征376

6.3.1 复方程W？=AW的解377

6.2.5 C？类函数的微商法则377

6.3 方程组(6.1.1)的标准形式377

6.3.2 方程组的标准形式379

6.4 正则解的一种表示式及其某些性质380

6.4.1 正则解的一种表示式380

6.4.2 正则解的某些性质381

6.5 正则解的积分表示式383

6.6 Coболeв意义下的广义微商386

6.6.1 基本函数类387

6.6.2 Coболeв广义微商与Poupeiu微商的关系390

6.6.3 积分Tf和Пf的基本性质392

6.6.4 广义解析函数395

6.7 Hilbert边值问题396

6.7.1 Hilbert边值问题的提法396

6.7.2 化H问题为积分方程397

6.8.1 辅助关系式401

6.8 Riemann边值问题401

6.8.2 问题的提法·跳跃问题的解403

6.8.3 齐次R问题的解404

6.8.4 非齐次R问题的解406

6.9 区域内的Bergman函数409

6.9.1 区域内的Green函数与Schwarz算子409

6.9.2 区域内的Neumann函数412

6.9.3 Bergman空间·Bergman核函数414

6.10 二维奇异积分算子的N？ether性及其应用418

6.10.1 引言418

6.10.2 某些二维奇异积分算子的N？ether性420

6.10.3 平面上一般二阶椭圆型方程组的边值问题427

6.11 二维高阶奇异积分及其应用432

6.11.1 单奇点的二维高阶奇异积分432

6.11.2 多奇点的二维高阶奇异积分436

6.11.3 奇点位于边界时的二维高阶奇异积分443

6.11.4 单位圆上的积分算子？n448

6.11.5 单位圆上非负指标的Hilbert边值问题450

第七章 斜微商边值问题452

7.1 解析函数的高阶斜微商Hilbert型边值问题452

7.1.1 边界条件具有等价性的不同形式的问题提法452

7.1.2 解析函数的积分表示式455

7.1.3 DmH型问题化为Fredholm积分方程465

7.1.4 DmH型问题的可解性468

7.1.5 DmH型问题的另一种解法470

7.2 解析函数的高阶斜微商Riemann型边值问题476

7.2.1 边值问题的提法476

7.2.2 分片解析函数的积分表示式477

7.2.3 Dn,pR型问题的解480

7.2.4 Dn,pR型问题的新解法483

7.2.5 奇异积分--微分方程485

7.3.1 边值问题的提法487

7.3 解析函数的斜微商Carleman边值问题487

7.3.2 有界单连域内解析函数的积分表示式488

7.3.3 DC问题化为奇异积分方程491

7.3.4 DC问题的伴随问题493

7.3.5 齐次问题解的个数与非齐次问题可解条件的个数之间的关系494

7.4 解析函数的高阶斜微商Carleman型边值问题501

7.4.1 边值问题的提法501

7.4.2 HN解析函数的积分表示式502

7.4.3 D1C型问题505

7.4.4 DNC型问题(N>1)513

7.5 广义解析函数的斜微商Hilbert边值问题517

7.5.1 边值问题的提法517

7.5.2 等价性定理519

7.5.3 广义DH问题化为广义解析向量的H问题520

7.5.4 广义DH问题的N？ether定理523

7.5.5 含有实参数λ的广义DH问题(简介)528

7.6.1 边值问题的一般提法533

7.6 一阶拟线性椭圆组的斜微商Hilbert边值问题533

7.6.2 等价性定理534

7.6.3 线性的斜微商边界条件下边值问题的矩阵形式535

7.6.4 非负指标下边值问题的可解性536

7.6.5 负指标下边值问题的可解性538

7.7 研究概述539

7.7.1 广义解析函数的广义DnH(n>1)问题540

7.7.2 广义解析函数的广义DmR(m>1)型问题543

7.7.3 广义解析函数的带位移的广义DR型问题548

7.7.4 广义解析函数的广义DC型问题553

7.7.5 广义解析函数的斜微商复合边值问题558

7.7.6 一阶线性椭圆组的广义DC型问题563

7.7.7 广义解析函数的广义DR型问题的封闭解568

第八章 三阶椭圆型方程组的广义解与边值问题572

8.1 三阶椭圆型偏微分方程组的定义与分类572

8.2.1 三阶线性椭圆型偏微分方程组的复形式574

8.2 三阶椭圆型偏微分方程组的复形式574

8.2.2 三阶非线性椭圆型偏微分方程组的复形式578

8.3 加于三阶椭圆型复方程的条件579

8.4 三阶椭圆型复方程解的表示式与存在定理581

8.4.1 一个特殊三阶椭圆型复方程解的表示式581

8.4.2 三阶椭圆型复方程解的表示式与存在定理584

8.5 三阶非线性椭圆型复方程的斜微商Hilbert边值问题589

8.5.1 三阶非线性椭圆型复方程H问题的提法589

8.5.2 三阶非线性椭圆型复方程H问题解的表示式与解的估计式591

8.5.3 三阶非线性椭圆型复方程H问题的可解性594

8.6 三阶线性椭圆型复方程的斜微商Hilbert边值问题的可解性595

8.7 一般三阶非线性椭圆型复方程的斜微商边值问题598

8.7.1 三阶非线性椭圆型复方程的斜微商问题的提法598

8.7.2 复方程(8.7.1)的斜微商问题的可解性601

8.7.3 一般复方程(8.7.9)的斜微商问题的可解性604

附录一 不动点原理606

附录二 广义解析向量理论610

参考文献624