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第一讲 数学模型、模式与文化1

1 数学模型与数学模式3

2 数学哲学基本问题及不同回答8

2.1 数学哲学基本问题8

2.2 数学哲学的两大流派——理性主义和经验主义9

2.3 数学形态的历史演化12

2.4 逻辑主义、直觉主义和形式主义——数学的真理性13

2.5 如何看待数学证明？18

2.6 数学发展的历史经验21

3 数学与计算机科学24

4 数学与艺术27

参考文献30

第二讲 浅谈悖论32

1 悖论的三种情况33

2 几个有趣的悖论36

3 一个引发悖论的重要模式——自指38

4 哥德尔不完全性定理的证明线索39

5 图灵停机问题46

6 任意大的集合基数49

7 文学、美术、音乐和中国古代文献中的悖论50

8 预言可能吗？53

参考文献54

第三讲 对称群、装饰图案、血缘关系56

1 从平面几何说起57

2 对称概念与群的数学定义59

3 花边、壁纸、艾舍尔的画及其他62

4 群与血缘关系72

参考文献77

第四讲 斐波那契序列及有关模型78

1 斐波那契的兔子78

2 花瓣的数目与叶子的排列80

3 凤梨鳞片排列方式的几何描述81

4 向日葵花盘上的螺线模式85

5 叶序的数学物理解释，从物理考虑出发的计算机模拟89

6 斐波那契序列的其他表达方式91

7 斐波那契序列与游戏和魔术93

附录 斐波那契序列的一个性质94

参考文献95

第五讲 有关生命现象的几个数学模型96

1 元胞自动机的基本概念98

2 康维的生命游戏100

3 图灵扩散105

4 关于性别比的数学讨论113

参考文献117

第六讲 速降线问题与变分法118

1 一段有趣的历史和速降线问题119

2 速降线问题的雅格布·伯努利解法121

3 几何学中的海伦——速降线的奇妙性质122

4 变分问题的数学讨论126

4.1 速降线问题的变分提法126

4.2 变分问题的其他实例127

4.3 求解变分问题的途径——欧拉方程129

4.4 几点说明131

5 物理学中的变分原理136

6 经典变分问题的发展——控制论模型140

6.1 控制论的数学模型140

6.2 一个血糖含量的控制问题141

附录 多变量函数积分给出的变分问题145

参考文献146

第七讲 从最小二乘法谈起147

1 可由最小二乘法求解的问题实例148

1.1 观测数据的最小二乘拟合148

1.2 层析成像中的最小二乘法149

1.3 球队排名问题150

2 最小二乘法的几何解释，阻尼和加权最小二乘法152

2.1 最小二乘法的几何解释152

2.2 阻尼和加权最小二乘法152

3 从投影观点看傅里叶级数及其他有关问题153

3.1 傅里叶级数153

3.2 伽略金方法154

3.3 随机信号处理中的滤波问题156

4 广义逆157

5 傅里叶变换159

6 最小二乘法和物理问题160

6.1 基尔霍夫定律和最小二乘模型160

6.2 极小势能问题162

6.3 离散问题与连续问题的关系164

参考文献167

第八讲 驾驭偶然性168

1 敏感问题的抽样调查方法170

2 未名湖水系中金鱼数量的估计172

3 莎士比亚所掌握的词汇量173

4 用统计方法研究因果关系177

4.1 问题的提出177

4.2 问题的数学表达178

参考文献182

学生自拟论文题目选辑183