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第一章 向量值函数的积分与向量值测度1

1.1 向量值函数的微积分2

1.1.1 向量值函数的连续性2

1.1.2 向量值函数的可导性4

1.1.3 向量值函数的Riemann积分5

1.2 向量值可测函数6

1.2.1 可测函数的定义7

1.2.2 强可测与弱可测的关系7

1.2.3 算子值可测函数11

1.3 Bochner积分和Pettis积分12

1.3.1 Pettis积分13

1.3.2 Bochner积分15

1.3.3 Bochner可积函数的性质19

1.3.4 算子值函数的Bochner积分25

1.4 向量值测度27

1.4.1 向量值测度的基本概念27

1.4.2 向量值测度的可列可加性33

1.4.3 向量值测度的绝对连续性35

1.4.4 Radon-Nikodym性质38

1.4.5 具有Riesz表示的算子41

1.4.6 关于Radon-Nikodym性质的附注45

1.4.7 Vitali-Hahn-Saks定理45

1.4.8 数值函数关于向量值测度的积分47

第二章 算子半群52

2.1 算子半群的概念53

2.1.1 算子半群概念的由来53

2.1.2 算子半群的一些例子55

2.1.3 算子半群的可测性和连续性58

2.2 C0类算子半群63

2.2.1 C0类算子半群的基本概念63

2.2.2 无穷小母元的预解式65

2.2.3 C0类算子半群的表示68

2.2.4 无穷小母元的特征72

2.2.5 C0类压缩半群75

2.3 算子半群的应用76

2.3.1 Taylor公式的推广77

2.3.2 抽象Cauchy问题78

2.4 遍历理论82

2.4.1 概述82

2.4.2 遍历定理84

2.4.3 推广的形式89

2.4.4 算子半群的遍历定理90

2.5 单参数算子群，Stone定理96

2.5.1 半群成为群的条件96

2.5.2 单参数酉算子群的Stone定理98

2.5.3 Stone定理的应用：平稳随机过程101

2.5.4 Stone定理的应用：平均遍历定理103

第三章 拓扑线性空间105

3.1 拓扑空间105

3.1.1 邻域，序，网106

3.1.2 拓扑的强弱、生成和分离公理108

3.1.3 连续映射和Урысон引理109

3.1.4 紧性111

3.1.5 乘积拓扑，Тихонов定理112

3.1.6 诱导拓扑和可度量化空间114

3.2 拓扑线性空间116

3.2.1 基本概念和性质116

3.2.2 有限维线性空间的特征120

3.2.3 线性连续算子和线性连续泛函124

3.2.4 有界集和完全有界集125

3.2.5 局部基的特征，商拓扑126

3.2.6 完备集，完备性129

3.2.7 线性度量空间132

3.3 凸集与局部凸空间133

3.3.1 集及凸集的分离定理133

3.3.2 集的Minkowski泛函，线性泛函的延拓136

3.3.3 局部凸空间142

3.3.4 弱拓扑，商拓扑147

3.3.5 弱*拓扑150

3.3.6 端点，Крейн-Мильман定理，不动点定理151

3.4 几种局部凸空间156

3.4.1 囿空间157

3.4.2 桶式空间158

3.4.3 Mackey空间160

3.4.4 赋范线性空间166

3.4.5 B（H→H）的各种拓扑181

3.4.6 归纳极限与投影极限189

第四章 Banach代数194

4.1 基本概念和性质，元的正则集及谱194

4.1.1 代数，单位元，正则元，正则集及谱194

4.1.2 Banach代数中元素的谱197

4.1.3 元素在子代数中的谱199

4.1.4 几个例子201

4.2 Гельфанд表示，交换Banach代数206

4.2.1 线性可乘泛函206

4.2.2 Гельфанд表示208

4.2.3 理想，极大理想209

4.2.4 几个Banach代数上线性可乘泛函的形式213

4.2.5 半单的Banach代数217

4.3 对称Banach代数218

4.3.1 对合218

4.3.2 正泛函与表示221

4.3.3 不可分解的正泛函与既约表示224

4.4 C*代数227

4.4.1 C*代数的基本性质227

4.4.2 正常元的函数演算231

4.4.3 谱分解定理232

4.4.4 二次换位定理236

4.4.5 正元237

4.4.6 Kaplansky稠密性定理241

4.4.7 正泛函，态与纯态241

4.4.8 线性有界泛函的分解246

4.4.9 纯态与可乘性249

4.5 群代数251

4.5.1 局部紧Hausdorff空间上的积分251

4.5.2 局部紧群上的Haar积分264

4.5.3 群代数272

第五章 非线性映射279

5.1 映射的微分279

5.1.1 强微分280

5.1.2 弱微分282

5.1.3 高阶微分287

5.1.4 Taylor公式293

5.1.5 幂级数295

5.2 隐函数定理297

5.2.1 Cp映射297

5.2.2 隐函数存在定理298

5.2.3 隐函数的可微性300

5.3 泛函极值303

5.3.1 泛函极值的必要条件303

5.3.2 泛函极值存在性的下半弱连续条件303

5.3 最速下降法306

5.3.4 泛函极值存在性的Palais-Smale条件309

5.4 Brouwer度312

5.4.1 C1类映射的拓扑度312

5.4.2 几个引理315

5.4.3 C1类映射的拓扑度（续）319

5.4.4 连续映射的拓扑度及其性质322

5.5 Leray-Schauder度329

5.5.1 全连续映射329

5.5.2 Leray-Schauder度的定义331

5.5.3 Leray-Schauder度的性质334

5.6 不动点定理338

5.6.1 Brouwer不动点定理338

5.6.2 Schauder不动点定理338

5.6.3 集压缩映射的不动点342

5.6.4 多值映射的不动点345

参考文献348

索引349