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第一章 变分问题与泛函极值1

1-1变分问题与泛函的概念1

1-2泛函的极值3

1-3泛函的变分5

1-4 泛函极值的必要条件与欧拉（Euler）方程10

1-5关于泛函极值的判别13

1-6欧拉方程的积分17

1-7活动端点的变分问题与自然边界条件19

1-8其他类型泛函的变分问题22

习 题26

第二章 弹性力学中的经典能量原理29

2-1 弹性力学的基本方程与等效积分29

2-2虚位移原理——平衡方程等效积分的“弱形式”32

2-3基于虚位移原理的近似解法35

2-4虚位移原理在梁弯曲问题中的应用37

2-5虚应力原理—几何方程等效积分的“弱形式”42

2-6基于虚应力原理的近似解法43

2-7最小势能原理45

2-8用最小势能原理推导问题的平衡微分方程和力的边界条件48

2-9最小余能原理51

2-10应变能的上、下限性质54

2-11 贝蒂（Betti）互等定理56

习 题58

第三章 变分问题的直接解法及其在弹性力学中的应用61

3-1瑞利—里兹（Rayleigh—Ritz）法61

3-2基于最小势能原理里兹法求解的基本方程及其在弯曲梁和平面问题中的应用64

3-3应用势能驻值原理求解压杆的稳定问题68

3-4基于最小余能原理的里兹法求解71

3-5伽辽金（Галёркин）法76

3-6关于里兹法与伽辽金法79

3-7康托洛维齐（Канторович）法81

3-8屈列弗兹（Trefftz）法83

3-9有限单元法85

习 题88

第四章 Lagrange乘子法与广义变分原理93

4-1受有函数形式约束的变分问题93

4-2受有积分形式约束的变分问题98

4-3海林格—赖斯纳（H—R）变分原理101

4-4胡海昌—鹫津久一郎（H—W）变分原理103

4-5按广义变分原理求解的混合法105

4-6修正余能原理与杂交应力有限元模型110

习 题115

第五章 变分问题的反问题117

5-1 内积空间与共轭算子117

5-2泛函存在的条件120

5-3能量积分的求解方法124

5-4线性正定算子的泛函127

5-5 Navier方程的极小泛函130

5-6非齐次边界条件变分问题的泛函132

5-7 变分问题泛函的等效积分方法136

5-8 最小二乘法与罚函数方法138

习 题142

第六章 薄板弯曲问题的变分解法145

6-1 薄板的基本假设与基本计算关系145

6-2 薄板弯曲的控制微分方程148

6-3边界条件151

6-4薄板弯曲问题位移解法控制方程的变分泛函154

6-5矩形薄板弯曲的里兹法求解157

6-6矩形薄板弯曲的伽辽金法与康托洛维齐法160

6-7 里兹法用于圆形薄板的弯曲163

6-8薄板的最小余能原理与广义变分原理165

6-9基于两类变量变分原理的混合有限元法169

6-10薄板屈曲时的控制微分方程与势能驻值原理172

6-11用里兹法求解平板屈曲问题177

习 题180

第七章 塑性力学中的变分原理183

7-1塑性力学本构理论基础183

7-2塑性力学形变理论的变分原理190

7-3 Kachanov（卡恰诺夫）原理191

7-4 Haar—Karman（哈尔—卡门）原理195

7-5塑性力学形变理论的广义变分原理199

7-6极值路径下的能量形式本构关系201

7-7全量理论的弹塑性有限元法203

7-8塑性力学增量理论的变分原理205

7-9应变硬化材料与理想塑性材料207

7-10 Prandtl—Reuss（普朗特—路斯）方程210

7-11增量理论的弹塑性有限元方法211

习 题217

第八章 变分法与最优控制219

8-1控制系统的状态空间表达式219

8-2最优控制问题的一般提法222

8-3 Lagrange最优控制问题的Euler方程226

8-4 Bolza最优控制问题的Euler方程228

8-5最小值原理234

8-6线性二次型最优控制239

习 题245

附录248

参考文献256