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第一章 多元函数的极限和连续性1

1 多元函数的概念1

1.1 平面点集1

1.2 多元函数5

2 多元函数的极限8

2.1 二重极限8

2.2 极限的运算法则11

2.3 二次极限12

3 多元函数的连续性15

3.1 连续函数15

3.2 有界闭区域上连续函数的性质17

3.3 多元初等函数的连续性17

第二章 多元函数的微分学及其应用19

1 偏导数19

1.1 偏导数19

1.2 高阶偏导数22

2 全微分26

2.1 微分中值定理26

2.2 全微分28

2.3 高阶全微分33

3 复合函数的微分法35

3.1 链锁规则35

3.2 一阶全微分形式不变性40

4 隐函数微分法44

4.1 由方程式确定的隐函数的微分法44

4.2 由方程组确定的隐函数的微分法48

4.3 Jacobi行列式的性质52

5 方向导数和梯度56

5.1 方向导数56

5.2 梯度59

6 向量值函数的导数61

6.1 向量值函数61

6.2 量值函数的导数62

7 多元微分学的几何应用66

7.1 空间曲线的切线和法平面66

7.2 曲面的切平面与法线69

8 多元函数的Taylor公式与极值问题74

8.1 多元函数的Taylor公式74

8.2 多元函数的极值问题78

8.3 条件极值问题83

第三章 重积分91

1 二重积分的概念与性质91

1.1 二重积分的概念91

1.2 二重积分的几何意义和性质94

2 重积分的计算98

2.1 在直角坐标系下计算二重积分98

2.2 在极坐标系下计算二重积分104

2.3 二重积分的换元法109

3 三重积分117

3.1 三重积分的概念117

3.2 在直角坐标系下计算三重积分118

3.3 在柱面坐标和球面坐标下计算三重积分123

4 含参变量的积分与反常重积分130

4.1 含参变量的积分130

4.2 含参变量的反常积分135

4.3 Г函数与B函数138

4.4 反常重积分140

第四章 第一型曲线积分与曲面积分145

1 第一型曲线积分145

1.1 第一型曲线积分的概念与性质145

1.2 第一型曲线积分的计算147

2 第一型曲面积分152

2.1 第一型曲面积分的概念与性质152

2.2 曲面面积的计算153

2.3 第一型曲面积分的计算155

3 几何形体上的积分及其应用159

3.1 几何形体上的积分概念159

3.2 几何形体上积分的性质160

3.3 几何形体上的积分应用举例161

第五章 第二型曲线积分与曲面积分171

1 第二型曲线积分171

1.1 第二型曲线积分的概念与性质171

1.2 两种曲线积分之间的关系173

1.3 第二型曲线积分的计算174

2 Green公式及其应用180

2.1 Green公式181

2.2 平面曲线积分与路径无关的条件186

3 第二型曲面积分192

3.1 第二型曲面积分的概念与性质192

3.2 第二型曲面积分的计算195

4 Gauss公式及其应用202

4.1 Gauss公式203

4.2 散度207

5 Stokes公式210

5.1 Stokes公式210

5.2 旋度213

第六章 无穷级数217

1 数项级数的概念与性质217

1.1 数项级数的概念217

1.2 数项级数的性质218

2 正项级数的敛散性221

2.1 比较判别法221

2.2 比值判别法(D'Alembert判别法)224

2.3 根值判别法(Cauchy判别法)226

2.4 积分判别法226

3 任意项级数229

3.1 Cauchy收敛准则Leibniz判别法229

3.2 绝对收敛与条件收敛231

3.3 级数的乘法运算233

4 函数项级数234

4.1 函数项级数的概念234

4.2 函数项级数的一致收敛性236

4.3 一致收敛级数的和函数的性质240

5 幂级数244

5.1 幂级数及其收敛性244

5.2 幂级数的运算246

5.3 数展开成幂级数249

5.4 幂级数的应用举例253

6 Fourier级数256

6.1 三角函数系的正交性256

6.2 以2π为周期的函数的Fourier级数257

6.3 奇、偶函数的展开263

6.4 数展开成正弦级数或余弦级数265

6.5 以2l为周期的函数的Fourier级数266

6.6 Fourier级数的复数形式272

第七章 常微分方程276

1 常微分方程的基本概念276

1.1 常微分方程举例276

1.2 基本概念278

2 可分离变量的方程280

2.1 可分离变量的方程280

2.2 齐次微分方程282

3 一阶线性微分方程287

3.1 齐次线性微分方程287

3.2 非齐次线性微分方程288

3.3 Bernoulli方程291

4 全微分方程和积分因子294

4.1 全微分方程294

4.2 积分因子297

5 一阶隐式方程301

5.1 参数形式的解301

5.2 方程y=f(x,y＇)302

5.3 方程x=f(y,y′)305

6 特殊的高阶常微分方程的解法307

6.1 方程y(n)=f(x)307

6.2 方程y"=f(x,y＇)308

6.3 方程y"=f(y,y＇)310

7 n阶线性微分方程的一般理论312

7.1 解的存在与惟一性定理312

7.2 函数间的线性关系313

8 阶齐次线性微分方程317

8.1 通解结构定理317

8.2 通解的求法319

8.3 常系数齐次线性微分方程322

9 n阶非齐次线性微分方程327

9.1 通解结构定理328

9.2 通解的求法329

9.3 常系数非齐次线性微分方程333

9.4 Euler方程342

习题参考答案346

参考文献372