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第1章 函数1

1.1　实数、区间与绝对值1

1.1.1　实数1

1.1.2　区间与邻域2

1.1.3　绝对值3

习题1.16

1.2　函数的概念及其图形6

1.2.1　常量与变量6

1.2.2 函数概念6

1.2.3 函数图形10

习题1.212

1.3　函数的几种特性13

1.3.1　有界性13

1.3.2　单调性14

1.3.3　奇偶性15

1.3.4　周期性16

习题1.317

1.4　反函数与复合函数17

1.4.1　反函数17

1.4.2　复合函数20

习题1.421

1.5　基本初等函数与初等函数21

1.5.1　基本初等函数21

1.5.2　初等函数24

习题1.526

1.6　本章小结26

1.6.1 内容提要26

1.6.2　基本要求28

综合练习题28

第2章　极限与连续31

2.1　数列极限31

2.1.1 数列31

2.1.2　数列极限的概念32

2.1.3　收敛数列的性质35

习题2.137

2.2　函数的极限38

2.2.1　函数极限的概念38

2.2.2　函数极限的性质43

习题2.244

2.3　无穷小与无穷大44

2.3.1　无穷小的概念与性质44

2.3.2　无穷大47

习题2.349

2.4　极限的运算法则49

2.4.1 四则运算法则49

2.4.2　复合运算法则53

习题2.455

2.5　极限存在准则与两个重要极限55

2.5.1　极限存在准则Ⅰ55

2.5.2　重要极限Ⅰ57

2.5.3　极限存在准则Ⅱ59

2.5.4　重要极限Ⅱ60

习题2.563

2.6　无穷小的比较63

习题2.666

2.7　函数的连续性66

2.7.1 函数连续性的概念与函数的间断点66

2.7.2　连续函数的运算性质及初等函数的连续性72

2.7.3 闭区间上连续函数的性质74

习题2.776

2.8　本章小结77

2.8.1 内容提要77

2.8.2　基本要求79

综合练习题80

第3章　导数与微分84

3.1　导数概念84

3.1.1 引出导数概念的两个著名问题84

3.1.2　导数的定义87

3.1.3　导数的几何意义88

3.1.4　函数在一点的左、右导数89

3.1.5 函数在一点可导性与连续性的关系90

习题3.192

3.2　基本初等函数的求导公式与求导法则93

3.2.1　基本初等函数求导公式之一93

3.2.2 函数的和、差、积、商的求导法则96

3.2.3　基本初等函数求导公式之二99

3.2.4　反函数的求导法则99

3.2.5　基本初等函数求导公式之三100

3.2.6　复合函数的求导法则101

习题3.2104

3.3　高阶导数106

3.3.1　高阶导数的概念106

3.3.2　常见函数的n阶求导公式107

3.3.3 函数乘积的n阶导数的莱布尼兹公式109

3.3.4　含抽象函数的导数110

习题3.3111

3.4　隐函数及由参数方程表示的函数求导法112

3.4.1　隐函数求导法则112

3.4.2 由参数方程所确定的函数的求导法114

习题3.4117

3.5　函数的微分及其应用118

3.5.1　微分的概念及函数可微与可导的关系118

3.5.2　微分的运算公式与法则121

3.5.3　微分的应用123

习题3.5125

3.6　本章小结127

3.6.1 内容提要127

3.6.2　基本要求129

综合练习题129

第4章　微分中值定理与导数的应用129

4.1　微分中值定理132

4.1.1　罗尔定理及简单应用132

4.1.2　拉格朗日中值定理及简单应用135

4.1.3　柯西中值定理140

习题4.1142

4.2　未定式极限的计算（罗必塔法则）143

4.2.1　两个无穷小量之比的极限（0/0型）143

4.2.2　两个无穷大量之比的极限（∞／∞型）145

4.2.3　其他类型的未定式147

习题4.2150

4.3　泰勒公式151

4.3.1　一阶泰勒公式151

4.3.2　n阶泰勒公式152

4.3.3　常见函数的n阶麦克劳林公式举例154

4.3.4　泰勒公式在近似计算中的应用156

习题4.3157

4.4　函数的单调性与极值158

4.4.1 函数单调性的判定法及其应用158

4.4.2 函数的极值与最大最小值问题162

习题4.4169

4.5 函数曲线的凹凸性、拐点及函数作图170

4.5.1 曲线的凹凸性与拐点170

4.5.2　曲线的渐近线173

4.5.3 函数曲线的作图174

习题4.5177

4.6　弧微分与曲率177

4.6.1　弧微分177

4.6.2　曲率178

习题4.6180

4.7　本章小结181

4.7.1 内容提要181

4.7.2　基本要求183

综合练习题183

第5章　不定积分186

5.1　不定积分的概念和性质186

5.1.1　原函数和不定积分的概念186

5.1.2　基本积分表190

5.1.3　不定积分的性质192

习题5.1194

5.2　换元积分法195

5.2.1　第一换元法196

5.2.2　第二换元法200

习题5.2203

5.3　分部积分法205

习题5.3210

5.4　有理函数的积分211

5.4.1　有理函数的分解211

5.4.2　部分分式的积分213

5.4.3　有理函数积分举例216

5.4.4　可化为有理函数积分的简单无理函数积分举例219

习题5.4221

5.5　本章小结221

5.5.1 内容提要221

5.5.2　基本要求224

综合练习题225

第6章　定积分227

6.1　定积分的概念227

6.1.1　定积分问题举例227

6.1.2　定积分的定义229

6.1.3　定积分的几何意义231

6.1.4　定积分的性质232

习题6.1235

6.2　微积分基本公式235

6.2.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系235

6.2.2　积分上限的函数及其导数236

6.2.3　牛顿-莱布尼兹公式238

习题6.2240

6.3　定积分的换元法241

习题6.3245

6.4　定积分的分部积分法246

习题6.4247

6.5　广义积分247

6.5.1　积分区间为无穷区间的广义积分248

6.5.2　被积函数有无穷间断点的广义积分250

习题6.5252

6.6　定积分应用举例252

6.6.1　定积分的元素法252

6.6.2 平面图形的面积254

6.6.3　旋转体的体积261

6.6.4　平面曲线的弧长262

6.6.5　变力沿直线所作的功265

6.6.6　函数的平均值266

习题6.6268

6.7　本章小结269

6.7.1 内容提要269

6.7.2　基本要求273

综合练习题273

第7章　微分方程277

7.1　微分方程的基本概念277

7.1.1　微分方程的定义278

7.1.2　微分方程的阶279

7.1.3　微分方程的解279

习题7.1282

7.2　可分离变量的微分方程282

习题7.2286

7.3　齐次微分方程287

习题7.3290

7.4　一阶线性微分方程290

7.4.1　一阶线性方程290

7.4.2　伯努力（Bernoulli）方程293

习题7.4294

7.5　可降阶的高阶微分方程294

7.5.1 y(n)=f（x）型的微分方程295

7.5.2 不含未知函数y及导数y′，y″，…，y（k）的n（n≥k）阶微分方程296

7.5.3　不含自变量的二阶微分方程299

习题7.5300

7.6　线性微分方程解的结构301

7.6.1　预备知识301

7.6.2　齐次线性微分方程解的结构302

7.6.3　非齐次线性微分方程解的结构303

习题7.6305

7.7　常系数齐次线性微分方程305

习题7.7311

7.8　常系数非齐次线性微分方程311

7.8.1 f(x)=eλx（a0xm+a1xm－1＋…＋am－1x+am）型312

7.8.2　当λ≠0时313

7.8.3 f(x)=eλx［Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型317

习题7.8319

7.9　本章小结319

7.9.1　内容提要319

7.9.2　基本要求322

综合练习题322