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第1章 行列式1

1.1 重要结论及公式1

1.1.1 特殊行列式1

1.1.2 展开定理2

1.1.3 Cramer法则3

1.2 概念点拨3

1.2.1 关于行列式的定义3

1.2.2 行列式与行列式的值有区别吗4

1.2.3 余子式、代数余子式与元素有关吗4

1.3 典型例题解析5

1.3.1 题型一：行列式的计算5

1.3.2 题型二：与行列式概念有关的问题13

1.3.3 题型三：关于余子式和代数余子式13

1.3.4 题型四：Cramer法则及其应用14

1.3.5 题型五：杂题16

1.4 历年考研试题选解17

1.5 课后习题全解20

1.6 同步自测题（一）27

第2章 矩阵30

2.1 重要结论及公式31

2.1.1 对称矩阵与反对称矩阵31

2.1.2 矩阵的基本运算31

2.1.3 可逆矩阵32

2.1.4 关于伴随矩阵的基本公式34

2.1.5 矩阵方程的求解34

2.1.6 初等变换、初等矩阵及其关系35

2.1.7 矩阵的秩35

2.1.8 矩阵等价的充分必要条件36

2.1.9 分块矩阵的初等变换36

2.2 概念点拨37

2.2.1 关于行列式与矩阵概念的区别及联系37

2.2.2 矩阵运算与行列式运算的比较37

2.2.3 两个非零矩阵相乘，结果一定不是零矩阵吗37

2.2.4 用初等变换法求逆阵，行列变换能同时进行吗37

2.2.5 关于分块矩阵的转置38

2.2.6 关于矩阵方程的求解38

2.3 典型例题解析38

2.3.1 题型一：求方阵的幂38

2.3.2 题型二：关于方阵、伴随矩阵等的行列式及相关命题39

2.3.3 题型三：矩阵可逆的计算与证明41

2.3.4 题型四：求解矩阵方程43

2.3.5 题型五：关于初等变换与初等矩阵的问题44

2.3.6 题型六：矩阵的秩44

2.4 历年考研试题选解45

2.5 课后习题全解48

2.6 同步自测题（二）57

第3章 线性方程组60

3.1 重要结论及公式61

3.1.1 向量组线性相关、线性无关、线性表示和线性组合61

3.1.2 向量组的极大线性无关组、秩及等价62

3.1.3 线性方程组解的性质及判定63

3.1.4 线性方程组解的结构63

3.2 概念点拨64

3.2.1 向量组线性相关性的判别方法64

3.2.2 向量组等价与矩阵等价之间的关系64

3.2.3 向量组的极大线性无关组65

3.3 典型例题解析65

3.3.1 题型一：向量组线性相关性的判定65

3.3.2 题型二：向量组的极大无关组与秩的求法及相关证明67

3.3.3 题型三：线性空间初步（维数、基、向量的坐标、过渡矩阵）69

3.3.4 题型四：齐次和非齐次线性方程组的求解、基础解系问题70

3.3.5 题型五：两个方程组的同解及有公共解问题73

3.4 历年考研试题选解75

3.5 课后习题全解88

3.6 同步自测题（三）99

第4章 矩阵的特征值与对角化101

4.1 重要结论及公式102

4.1.1 矩阵的特征值与特征向量的性质102

4.1.2 相似矩阵的性质102

4.1.3 矩阵相似于对角矩阵的条件103

4.1.4 实对称矩阵的特性103

4.1.5 正交矩阵的性质103

4.1.6 Gram-Schmidt标准正交化方法104

4.2 概念点拨104

4.2.1 关于矩阵的特征值与特征向量104

4.2.2 关于相似矩阵的性质104

4.2.3 正交矩阵与可逆矩阵之间的关系105

4.2.4 用可逆阵与用正交阵化实对称阵为对角阵的不同105

4.2.5 矩阵的特征值是否都为实数105

4.2.6 属于矩阵的不同特征值的特征向量是否两两正交105

4.3 典型例题解析105

4.3.1 题型一：求矩阵的特征值与特征向量105

4.3.2 题型二：n阶矩阵能否相似对角化的判定及求解109

4.3.3 题型三：用特征值和特征向量反求矩阵111

4.3.4 题型四：实对称矩阵的对角化问题112

4.3.5 题型五：相似对角化的应用114

4.3.6 题型六：杂题115

4.4 历年考研试题选解116

4.5 课后习题全解122

4.6 同步自测题（四）135

第5章 二次型138

5.1 重要结论及公式139

5.1.1 二次型的矩阵及秩139

5.1.2 矩阵的合同139

5.1.3 化二次型为标准形139

5.1.4 正定二次型及其判定141

5.1.5 正定矩阵的性质142

5.2 概念点拨142

5.2.1 矩阵的等价、相似和合同三概念之间的区别及联系142

5.2.2 二次型的标准形是否唯一，规范形与标准形的区别与联系142

5.3 典型例题解析143

5.3.1 题型一：求二次型的矩阵及秩143

5.3.2 题型二：判断矩阵的合同143

5.3.3 题型三：化二次型为标准形144

5.3.4 题型四：正定二次型的判定及证明146

5.4 历年考研试题选解149

5.5 课后习题全解156

5.6 同步自测题（五）168

附录1 模拟试题171

附录2 参考答案190