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引言1

笫一章复数与复变函数2

§1复数及其代数运算2

1．复数的概念2

2．复数的代数运算2

§2复数的几何表示5

1．复平面5

2．复球面9

§3复数的乘幂与方根11

1．乘积与商11

2．幂与根13

§4区域16

1．区域的概念16

2．单连域与多连域17

§5复变函数19

1．复变函数的定义19

2．映射的概念20

§6复变函数的极限和连续性23

1．函数的极限23

2．函数的连续性26

第一章习题27

第二章解析函数31

§1解析函数的概念31

1．复变函数的导数与微分31

2．解析函数的概念34

§2函数解析的充要条件36

§3初等函数42

1．指数函数42

2．对数函数44

3．乘幂a b与幂函数45

4．三角函数和双曲函数47

5．反三角函数与反双曲函数49

§4平面场的复势50

1．用复变函数表示平面向量场50

2．平面流速场的复势52

3．静电场的复势58

第二章习题60

第三章复变函数的积分64

§1复变函数积分的概念64

1．积分的定义64

2．积分存在的条件及其计算法65

3．积分的性质67

§2柯西-古萨（Cauchy-Goursat）基本定理69

§3基本定理的推广——复合闭路定理73

§4柯西积分公式76

§5解析函数的高阶导数78

§6解析函数与调和函数的关系82

第三章习题85

第四章级数90

§1复数项级数90

1．复数列的极限90

2．级数概念91

§2幂级数93

1．幂级数概念93

2．收敛圆与收敛半径94

3．收敛半径的求法96

4．幂级数的运算和性质98

§3泰勒级数100

§4罗伦级数107

第四章习题118

第五章留数121

§1孤立奇点121

1．可去奇点122

2．极点122

3．本性奇点123

4．函数的零点与极点的关系124

5．函数在无穷远点的性态126

§2留数129

1．留数的定义及留数定理129

2．留数的计算规则131

3．在无穷远点的留数136

§3留数在定积分计算上的应用139

1．形如∫2π0R（cosθ,sinθ）dθ的积分139

2．形如∫∞-∞R(x)dx的积分141

3．形如∫∞-∞R(x)eaixdx（a＞0）的积分143

§4对数留数与辐角原理147

1．对数留数147

2．辐角原理149

3．路西（Rouché）定理151

第五章习题153

第六章保角映射156

§1保角映射的概念156

1．解析函数的导数的几何意义157

2．保角映射的概念160

§2分式线性映射160

§3唯一决定分式线性映射的条件166

§4几个初等函数所构成的映射172

1．幂函数ω=zn（n是不小于2的自然数）172

2．指数函数ω=ez177

3．儒可夫斯基函数181

§5关于保角映射的几个一般性定理182

§6许瓦尔兹-克力斯托夫（Schwarz-Christoffel）映射184

§7拉普拉斯方程的边值问题195

第六章习题200

附录Ⅰ参考书目204

附录Ⅱ区域的变换表205

习题答案216