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第一部分 非线性波的发展史3

第1章 孤立子理论与可积系统的发展史3

1.1 孤立子的研究概要3

1.2 可积系统的研究概要5

1.2.1 有穷维哈密顿系统6

1.2.2 无穷维哈密顿系统7

1.2.3 无穷与有穷维哈密顿系统之间的联系10

1.2.4 代数几何解10

1.3 非线性微分方程求解的发展概要11

1.3.1 反散射方法11

1.3.2 Backlund和Darboux变换12

1.3.3 Hirota双线性方法12

1.3.4 李对称理论13

1.3.5 其他方法的研究14

1.4 超对称方程和超离散方程的发展概要14

参考文献16

第二部分 变换方法与可积簇29

第2章 微分方程之间变换方法29

2.1 AC=BD模式的介绍29

2.2 李对称群在微分方程之间变换的理论30

2.3 李对称群在AC=BD理论框架下的应用32

2.3.1 多个因变量的非线性PDE到线性PDE的可逆变换32

2.3.2 单个因变量的非线性PDE到线性PDE的可逆变换35

2.3.3 变系数线性PDE到常系数线性PDE的可逆变换37

参考文献39

第3章 非线性微分方程的Darboux和Backlund变换及其应用41

3.1 三类N-重Darboux变换41

3.1.1 广义导数NLS方程的N重Darboux变换41

3.1.2 广义导数NLS方程的周期波解49

3.2 Backlund和Darboux变换55

3.2.1 Painlevé截断展开的奇异流形法55

3.2.2 Darboux变换及其Grammian形式解59

3.3 非线性微分方程的微分变换-Padé逼近方法63

3.3.1 微分变换-Padé逼近方法63

3.3.2 浅水波Camassa-Holm方程64

参考文献67

第4章 哈密顿Lattice簇的Lax可积性、约化及其Darboux变换69

4.1 一类新的多哈密顿Lattice簇的Lax可积性及其约化69

4.2 一类新的多哈密顿Lattice簇的Darboux变换76

参考文献79

第5章 自容源mKP方程簇80

5.1 自容源mKP方程及其向前、向后和二元Darboux变换80

5.1.1 mKP方程向前的Darboux变换80

5.1.2 mKP方程向后的Darboux变换81

5.1.3 mKP方程的二元Darboux变换81

5.2 自容源mKP方程的广义二元Darboux变换83

5.3 自容源mKP方程的几种类型的解89

参考文献93

第三部分 对称与守恒律及其应用97

第6章 非局域对称与守恒律97

6.1 Euler算子与守恒律乘子97

6.1.1 Euler算子与守恒律乘子简介97

6.1.2 非线性微分方程的守恒律98

6.2 Noether定理和Boyer定理在守恒律乘子算法下的局限性100

6.3 非局域相关PDE系统及其树形结构101

6.3.1 非线性微分方程的势系统和子系统101

6.3.2 非线性扩散方程的非局域PDE系统及其树形结构103

6.4 非局域理论的应用108

6.5 非线性扩散方程的非局域对称、非局域守恒律与非局域线性化110

6.5.1 非线性扩散方程的非局域对称与非局域守恒律110

6.5.2 非线性扩散方程的非局域线性化111

参考文献113

第7章 广义群不变解115

7.1 非局域对称的广义群不变解115

7.1.1 非局域对称的算法115

7.1.2 非线性扩散方程116

7.2 Kompaneets方程的非经典群不变解及其稳态解119

参考文献124

第四部分 孤立子解和拟周期波解127

第8章 非线性微分方程的拟周期波解及其极限特性分析127

8.1 非线性微分方程的广义Hirota-Riemann方法127

8.1.1 双线性形式127

8.1.2 非线性微分方程的周期波解129

8.2 CDGSK方程133

8.2.1 CDGSK方程的周期波解133

8.2.2 CDGSK周期波的极限特性135

8.3 （2＋1）维的爆破孤立子方程143

8.3.1 （2＋1）维BS方程的周期波解143

8.3.2 （2＋1）维DBS方程的极限特性147

参考文献148

第9章 超对称方程的拟周期波解及其极限特性分析149

9.1 超空间、超Hirota双线性算子和超Riemann Theta函数149

9.2 超对称方程的超Hirota-Riemann方法153

9.2.1 超对称方程的超Hirota双线性形式153

9.2.2 超对称方程的超周期波解154

9.3 超对称KdV-Burgers方程160

9.3.1 超对称KdV-Burgers方程的超周期波解161

9.3.2 超对称KdV-Burgers方程超周期波解的极限渐近特性162

参考文献165

第10章 超离散方程的拟周期波解及其极限特性分析166

10.1 广义的离散mKdV方程的拟周期波解及其超离散化形式166

10.1.1 广义的离散mKdV方程的拟周期波解166

10.1.2 广义的离散mKdV方程的超离散化及其超周期波解171

10.2 广义的（2＋1）维Toda Lattice方程的超离散化及其超周期波解173

参考文献174

第五部分 可积性质177

第11章 非线性微分方程的可积性质177

11.1 多维的二元Bell多项式177

11.2 广义变系数KP方程的可积性质179

11.3 5阶KdV方程的可积性质198

参考文献201

第12章 超空间上微分方程的可积性质203

12.1 多维的超Bell多项式203

12.2 多维的二元超Bell多项式205

12.3 超对称方程的可积性质207

12.4 广义超离散方程的Lax可积性212

12.4.1 超离散Lattice Krichever-Novikov方程的Lax可积性213

12.4.2 几类广义超离散方程的Lax可积性217

12.5 有限亏格？的Riemann Theta函数的超离散化及其应用221

12.5.1 带有有限亏格？的Riemann Theta函数的超离散化221

12.5.2 广义耦合的超离散mKdV方程223

参考文献225

附录 非线性扩散方程的局部与非局部对称表227