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专题1 函数与极限1

1.1 基本概念与内容提要1

1.1.1 一元函数基本概念1

1.1.2 数列的极限1

1.1.3 函数的极限1

1.1.4 证明数列或函数极限存在的方法2

1.1.5 无穷小量2

1.1.6 无穷大量3

1.1.7 求数列或函数的极限的方法3

1.1.8 函数的连续性3

1.2 竞赛题与精选题解析4

1.2.1 求函数的表达式（例1.1—1.3）4

1.2.2 利用四则运算求极限（例1.4—1.16）6

1.2.3 利用夹逼准则与单调有界准则求极限（例1.17—1.26）12

1.2.4 利用两个重要极限求极限（例1.27—1.30）18

1.2.5 利用等价无穷小因子代换求极限（例1.31—1.33）20

1.2.6 无穷小比较与无穷大比较（例1.34—1.35）20

1.2.7 连续性与间断点（例1.36—1.41）21

1.2.8 利用介值定理的证明题（例1.42—1.46）23

练习题一26

专题2 一元函数微分学28

2.1 基本概念与内容提要28

2.1.1 导数的定义28

2.1.2 左、右导数的定义28

2.1.3 微分概念28

2.1.4 基本初等函数的导数公式29

2.1.5 求导法则29

2.1.6 高阶导数29

2.1.7 微分中值定理30

2.1.8 泰勒公式与马克劳林公式30

2.1.9 洛必达法则31

2.1.10 导数在几何上的应用32

2.2 竞赛题与精选题解析33

2.2.1 利用导数的定义解题（例2.1—2.8）33

2.2.2 利用求导法则解题（例2.9—2.11）38

2.2.3 求高阶导数（例2.12—2.23）39

2.2.4 与微分中值定理有关的证明题（例2.24—2.44）44

2.2.5 马克劳林公式与泰勒公式的应用（例2.45—2.65）56

2.2.6 利用洛必达法则求极限（例2.66—2.77）70

2.2.7 导数在几何上的应用（例2.78—2.95）74

2.2.8 不等式的证明（例2.96—2.106）83

练习题二89

专题3 一元函数积分学92

3.1 基本概念与内容提要92

3.1.1 不定积分基本概念92

3.1.2 基本积分公式92

3.1.3 不定积分的计算93

3.1.4 定积分基本概念94

3.1.5 定积分中值定理94

3.1.6 变限的定积分94

3.1.7 定积分的计算95

3.1.8 奇偶函数与周期函数定积分的性质95

3.1.9 定积分在几何与物理上的应用95

3.1.10 反常积分97

3.2 竞赛题与精选题解析98

3.2.1 求原函数（例3.1—3.4）98

3.2.2 求不定积分（例3.5—3.18）100

3.2.3 利用定积分的定义求极限（例3.1 9—3.26）104

3.2.4 应用积分中值定理解题（例3.27—3.29）109

3.2.5 变限的定积分的应用（例3.30—3.44）111

3.2.6 定积分的计算（例3.45—3.63）119

3.2.7 定积分在几何与物理上的应用（例3.6 4—3.75）127

3.2.8 积分不等式的证明（例3.76—3.102）135

3.2.9 积分等式的证明（例3.103—3.105）152

3.2.10 反常积分（例3.106—3.114）155

练习题三161

专题4 多元函数微分学163

4.1 基本概念与内容提要163

4.1.1 二元函数的极限与连续性163

4.1.2 偏导数与全微分163

4.1.3 多元复合函数与隐函数的偏导数164

4.1.4 高阶偏导数166

4.1.5 二元函数的极值166

4.1.6 条件极值166

4.1.7 多元函数的最值168

4.2 竞赛题与精选题解析168

4.2.1 求二元函数的极限（例4.1—4.2）168

4.2.2 二元函数的连续性、可偏导性与可微性（例4.3—4.9）169

4.2.3 求多元复合函数与隐函数的偏导数（例4.10—4.22）172

4.2.4 求高阶偏导数（例4.23—4.32）177

4.2.5 求二元函数的极值（例4.33—4.37）184

4.2.6 求条件极值（例4.38—4.40）187

4.2.7 求多元函数在有界闭域上的最值（例4.41—4.42）189

练习题四190

专题5 多元函数积分学193

5.1 基本概念与内容提要193

5.1.1 二重积分基本概念193

5.1.2 二重积分的计算194

5.1.3 交换二次积分的次序195

5.1.4 三重积分基本概念与计算195

5.1.5 重积分的应用196

5.1.6 曲线积分基本概念与计算197

5.1.7 格林公式199

5.1.8 曲面积分基本概念与计算200

5.1.9 斯托克斯公式202

5.1.10 高斯公式203

5.2 竞赛题与精选题解析203

5.2.1 二重积分的计算（例5.1—5.14）203

5.2.2 交换二次积分的次序（例5.15—5.23）210

5.2.3 三重积分的计算（例5.24—5.28）215

5.2.4 与重积分有关的不等式的证明（例5.29—5.36）218

5.2.5 曲线积分的计算（例5.37—5.42）223

5.2.6 应用格林公式解题（例5.43—5.53）227

5.2.7 曲面积分的计算（例5.54—5.56）234

5.2.8 应用斯托克斯公式解题（例5.57—5.58）237

5.2.9 应用高斯公式解题（例5.59—5.66）238

5.2.10 多元函数积分学的应用题（例5.67—5.76）244

练习题五250

专题6 空间解析几何253

6.1 基本概念与内容提要253

6.1.1 向量的基本概念与向量的运算253

6.1.2 空间的平面254

6.1.3 空间的直线254

6.1.4 空间的曲面255

6.1.5 空间的曲线256

6.2 竞赛题与精选题解析257

6.2.1 向量的运算（例6.1—6.5）257

6.2.2 空间平面的方程（例6.6—6.7）258

6.2.3 空间直线的方程（例6.8—6.12）259

6.2.4 空间曲面的方程与空间曲面的切平面（例6.13—6.24）261

6.2.5 空间曲线的方程与空间曲线的切线（例6.25—6.30）267

练习题六271

专题7 级数273

7.1 基本概念与内容提要273

7.1.1 数项级数的主要性质273

7.1.2 正项级数敛散性判别法273

7.1.3 任意项级数敛散性判别法274

7.1.4 幂级数的收敛半径、收敛域与和函数274

7.1.5 初等函数关于x的幂级数展开式274

7.1.6 傅氏级数275

7.2 竞赛题与精选题解析276

7.2.1 判别正项级数的敛散性（例7.1—7.14）276

7.2.2 判别任意项级数的敛散性（例7.15—7.27）286

7.2.3 求幂级数的收敛域与和函数（例7.28—7.45）294

7.2.4 求数项级数的和（例7.46—7.52）305

7.2.5 求初等函数关于x的幂级数展开式（例7.53—7.58）309

7.2.6 求函数的傅氏级数展开式（例7.59）312

练习题七313

专题8 微分方程315

8.1 基本概念与内容提要315

8.1.1 微分方程的基本概念315

8.1.2 一阶微分方程315

8.1.3 二阶微分方程316

8.1.4 微分方程的应用318

8.2 竞赛题与精选题解析318

8.2.1 微分方程的特解（例8.1—8.3）318

8.2.2 变量可分离方程的应用题（例8.4—8.8）319

8.2.3 齐次微分方程的应用题（例8.9）322

8.2.4 一阶线性微分方程的应用题（例8.10—8.12）323

8.2.5 求解二阶线性微分方程（例8.13—8.20）325

8.2.6 求解可化为二阶线性微分方程的微分方程（例8.21—8.22）329

练习题八331

练习题答案与提示332