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第一章 行列式1

1.1 二阶与三阶行列式1

1.1.1 二阶行列式1

1.1.2 三阶行列式2

1.2 n阶行列式4

1.2.1 排列与逆序4

1.2.2 n阶行列式的定义5

1.2.3 对换7

1.3 行列式的性质8

1.4 行列式的展开与计算13

1.4.1 余子式与代数余子式13

1.4.2 行列式的展开定理13

1.4.3 行列式的计算16

1.5 克莱姆法则17

习题一19

第二章 矩阵及其运算22

2.1 矩阵22

2.1.1 矩阵22

2.1.2 矩阵的相等24

2.1.3 几个常用的特殊矩阵24

2.2 矩阵的运算26

2.2.1 矩阵的加法26

2.2.2 数与矩阵相乘27

2.2.3 矩阵与矩阵相乘27

2.2.4 矩阵的转置30

2.2.5 方阵的行列式32

2.3 逆矩阵33

2.3.1 逆矩阵的概念33

2.3.2 逆矩阵的性质34

2.3.3 方阵的可逆条件与逆矩阵的计算34

2.4 分块矩阵38

2.4.1 分块矩阵38

2.4.2 分块对角阵40

习题二41

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组44

3.1 矩阵的初等变换44

3.1.1 矩阵的初等变换44

3.1.2 矩阵的等价46

3.1.3 矩阵的标准形46

3.2 初等矩阵48

3.2.1 初等矩阵48

3.2.2 利用初等变换求逆矩阵50

3.3 矩阵的秩52

3.3.1 矩阵的秩52

3.3.2 利用初等变换求矩阵的秩53

3.3.3 矩阵秩的性质55

3.4 线性方程组解的判别法56

习题三60

第四章 向量组的线性相关性62

4.1 向量组及其线性组合62

4.1.1 向量的定义及其运算62

4.1.2 向量的线性组合62

4.1.3 向量组的线性表示63

4.2 向量组的线性相关性66

4.2.1 线性相关与线性无关66

4.2.2 向量组的线性相关性68

4.3 向量组的秩71

4.3.1 极大线性无关向量组71

4.3.2 矩阵的行秩与列秩72

4.4 向量空间74

4.4.1 向量空间74

4.4.2 向量空间的基、维数74

4.4.3 坐标向量75

4.5 线性方程组解的结构77

4.5.1 齐次线性方程组解的结构77

4.5.2 非齐次线性方程组解的结构80

习题四83

第五章 矩阵的特征值及特征向量85

5.1 向量的正交及正交矩阵85

5.1.1 向量的内积、长度及夹角85

5.1.2 向量的正交性87

5.1.3 正交矩阵89

5.2 方阵的特征值与特征向量89

5.2.1 特征值与特征向量90

5.2.2 特征值、特征向量的求解92

5.3 相似矩阵95

5.3.1 相似矩阵95

5.3.2 矩阵的对角化96

5.4 实对称矩阵的对角化99

习题五101

第六章 二次型103

6.1 二次型及其矩阵103

6.1.1 二次型及其矩阵103

6.1.2 矩阵的合同105

6.2 二次型的标准化105

6.2.1 用正交变换化二次型为标准形105

6.2.2 用配方法化二次型为标准形107

6.3 正定二次型109

6.3.1 惯性定理109

6.3.2 正定二次型109

6.4 二次型的最大值和最小值111

习题六113

习题答案115

参考文献119