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第一篇 实变函数5

第一章 集合5

§1．集合概念5

目录5

§2．集合的运算7

§3．对等与基数13

§4．可数集合19

§5．不可数集合24

第一章习题29

§1．度量空间，n维欧氏空间31

第二章点集31

§2．聚点，内点，界点35

§3．开集，闭集，完备集38

§4．直线上的开集、闭集及完备集的构造44

第二章习题49

第三章测度论51

§1．外测度54

§2．可测集57

§3．可测集类65

§4．不可测集71

第三章习题74

第四章可测函数76

§1．可测函数及其性质76

§2．叶果洛夫（EropoB）定理85

§3．可测函数的构造88

§4．依测度收敛92

第四章习题98

第五章积分论100

§1．黎曼（Riemann）积分100

§2．勒贝格（Lebesgue）积分的定义106

§3．勒贝格积分的性质112

§4．一般可积函数115

§5．积分的极限定理123

§6．勒贝格积分的几何意义，富比尼（Fubini）定理133

第五章习题142

第六章微分与不定积分145

§1．维它利（Vitali）定理147

§2．单调函数的可微性149

§3．有界变差函数154

§4．不定积分160

§5．斯蒂尔切斯（Stieltjes）积分166

§6．勒贝格斯蒂尔切斯测度与积分172

第六章习题175

第二篇 泛函分析179

第七章 度量空间和赋范线性空间179

§1．度量空间的进一步例子179

§2．度量空间中的极限，稠密集，可分空间182

§3．连续映射187

§4．柯西（Cauchy）点列和完备度量空间189

§5．度量空间的完备化193

§6．压缩映射原理及其应用197

§7．线性空间201

§8．赋范线性空间和巴拿赫（Banach）空间205

第七章习题214

第八章 有界线性算子和连续线性泛函218

§1．有界线性算子和连续线性泛函218

§2．有界线性算子空间和共轭空间226

§3．广义函数大意232

第八章习题235

第九章 内积空间和希尔伯特（Hilbert）空间237

§1．内积空间的基本概念237

§2．投影定理241

§3．希尔伯特空间中的规范正交系246

§4．希尔伯特空间上的连续线性泛函256

§5．自伴算子、酉算子和正常算子260

第九章习题264

第十章 巴拿赫（Banach）空间中的基本定理267

§1．泛函延拓定理268

§2．C[a,b]的共轭空间274

§3．共轭算子277

§4．纲定理和一致有界性定理279

§5．强收敛、弱收敛和一致收敛285

§6．逆算子定理289

§7．闭图像定理292

第十章习题294

§1．谱的概念297

第十一章线性算子的谱297

§2．有界线性算子谱的基本性质301

§3．紧集和全连续算子303

§4．自伴全连续算子的谱论309

§5．具对称核的积分方程315

第十一章习题319

附录一 内测度，L测度的另一定义321

附录二半序集和佐恩（Zorn）引理324

附录三实变函数增补例题328

参考书目347