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1 函数与极限1

1.1 函数1

1.1.1 集合1

1.1.2 变量与函数的概念4

1.1.3 函数的几种性质7

1.1.4 反函数9

1.1.5 复合函数10

1.1.6 函数的四则运算12

1.1.7 初等函数13

1.1.8 双曲函数与反双曲函数15

1.1.9 映射17

习题1-118

1.2 极限20

1.2.1 数列的极限及其性质20

1.2.2 函数的极限及其性质26

1.2.3 极限运算法则31

1.2.4 极限存在准则 两个重要极限34

1.2.5 无穷小与无穷大39

习题1-244

1.3 函数的连续性和间断点46

1.3.1 函数的连续性46

1.3.2 函数的间断点及其分类49

1.3.3 连续函数的运算51

1.3.4 初等函数的连续性53

1.3.5 闭区间上连续函数的性质54

1.3.6 一致连续性的概念56

习题1-358

本章小结59

自我检测题160

复习题161

2 导数与微分63

2.1 导数的概念63

2.1.1 引例63

2.1.2 导数的定义65

2.1.3 导数的几何意义69

2.1.4 利用单位解释导数70

2.1.5 函数的可导性与连续性的关系71

2.1.6 导数在自然学科中的应用实例72

习题2-173

2.2 函数的求导方法 初等函数的导数74

2.2.1 几个基本初等函数的导数公式75

2.2.2 函数的和、差、积、商的求导法则76

2.2.3 反函数的求导法则78

2.2.4 复合函数的求导法则80

习题2-285

2.3 高阶导数86

2.3.1 高阶导数的概念86

2.3.2 高阶导数的四则运算及莱布尼兹公式89

习题2-390

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数90

2.4.1 隐函数求导法90

2.4.2 取对数求导法92

2.4.3 由参数方程所确定的函数的求导法93

2.4.4 由极坐标方程所表示的函数的导数97

习题2-499

2.5 相关变化率100

习题2-5102

2.6 微分102

2.6.1 微分的概念102

2.6.2 可微的充分必要条件103

2.6.3 微分的几何意义104

2.6.4 微分法则105

2.6.5 微分的应用举例108

习题2-6114

本章小结115

自我检测题2117

复习题2118

3 微分学基本定理119

3.1 微分学三个基本定理119

3.1.1 费马（Fermat）引理119

3.1.2 罗尔定理120

3.1.3 拉格朗日中值定理122

3.1.4 柯西定理124

习题3-1126

3.2 泰勒公式127

习题3-2130

本章小结130

自我检测题3131

复习题3132

4 微分学应用133

4.1 未定式求极限133

4.1.1 0/0型未定式133

4.1.2 ∞/∞型未定式136

4.1.3 其他未定式137

习题4-1140

4.2 函数的单调性和极值141

4.2.1 函数的单调性141

4.2.2 函数的极值143

4.2.3 最大值和最小值问题146

习题4-2148

4.3 曲线的凹凸性和拐点150

习题4-3154

4.4 函数图形的描绘154

4.4.1 曲线的渐近线154

4.4.2 函数图形的描绘155

习题4-4157

4.5 曲率158

4.5.1弧微分158

4.5.2 曲率的计算公式159

4.5.3 曲率圆161

习题4-5162

4.6 方程的近似解163

4.6.1 二分法163

4.6.2 切线法164

习题4-6165

本章小结166

自我检测题4167

复习题4168

5 不定积分170

5.1 不定积分170

5.1.1 原函数170

5.1.2 不定积分的概念171

5.1.3 基本积分表172

5.1.4 基本积分运算法则174

习题5-1176

5.2 换元积分法176

5.2.1 第一换元法（凑微分法）177

5.2.2 第二换元法181

习题5-2184

5.3 分部积分法185

习题5-3190

5.4 有理函数的不定积分190

5.4.1 有理函数的不定积分191

5.4.2 三角函数有理式的积分194

5.4.3 简单无理函数的积分195

习题5-4197

5.5 积分表的使用197

本章小结199

自我检测题5201

复习题5202

6 定积分204

6.1 定积分的概念204

6.1.1 引例204

6.1.2 定积分的概念206

习题6-1208

6.2 定积分的性质208

习题6-2212

6.3 微积分基本定理213

6.3.1 积分上限的函数及其导数214

6.3.2 牛顿－莱布尼兹公式215

习题6-3218

6.4 定积分的换元法与分部积分法219

6.4.1 定积分的换元法219

6.4.2 定积分的分部积分法223

习题6-4226

6.5 反常积分227

6.5.1 无穷限的反常积分227

6.5.2 无界函数的反常积分229

习题6-5232

6.6 反常积分的审敛法 Γ函数232

6.6.1 无穷限反常积分的审敛法232

6.6.2 无界函数的反常积分的审敛法235

6.6.3 Γ（Gamma）函数237

习题6-6239

本章小结239

自我检测题6241

复习题6242

7 定积分的应用244

7.1 定积分的元素法244

7.2 定积分在几何方面的应用246

7.2.1 平面图形的面积246

7.2.2 体积249

7.2.3 平面曲线的弧长251

习题7-2253

7.3 定积分在物理及其他方面的应用254

7.3.1 变力沿直线所做的功254

7.3.2 液体的静压力256

7.3.3 引力256

7.3.4 平均值和均方根257

习题7-3259

本章小结260

自我检测题7261

复习题7261

8 无穷级数263

8.1 数项级数的概念与性质264

8.1.1 数项级数的概念264

8.1.2 无穷级数的收敛与发散264

8.1.3 收敛级数的性质267

8.1.4 级数收敛的柯西（Cauchy）准则270

习题8-1271

8.2 正项级数及其审敛法272

8.2.1 正项级数的基本性质272

8.2.2 正项级数的比较审敛法273

8.2.3 正项级数的比值审敛法276

8.2.4 正项级数的根值审敛法280

8.2.5 正项级数的积分审敛法281

习题8-2283

8.3 任意项级数283

8.3.1 交错级数与莱布尼兹审敛法284

8.3.2 任意项级数的绝对值审敛法286

8.3.3 绝对收敛级数的性质288

习题8-3290

8.4 幂级数290

8.4.1 函数项级数290

8.4.2 幂级数与幂级数的收敛区间291

8.4.3 幂级数的代数性质与解析性质296

习题8-4300

8.5 函数展开为幂级数 幂级数的若干应用300

8.5.1 泰勒级数300

8.5.2 函数展开成幂级数的方法302

8.5.3 幂级数的若干应用307

8.5.4 欧拉公式310

习题8-5310

8.6 函数项级数的一致收敛性311

8.6.1 一致收敛的概念312

8.6.2 函数项级数一致收敛的审敛法314

8.6.3 一致收敛级数的解析性质316

8.6.4 幂级数的一致收敛性319

习题8-6321

8.7 傅里叶级数321

8.7.1 三角函数系的正交性及三角级数322

8.7.2 函数的傅里叶级数323

8.7.3 傅里叶级数的收敛性定理——狄利克雷（Dirichlet）充分条件324

8.7.4 正弦级数与余弦级数329

8.7.5 一般周期函数的傅里叶级数332

8.7.6 傅里叶级数的复数形式335

习题8-7336

本章小结337

自我检测题8339

复习题8339

附录1 二阶和三阶行列式简介341

附录2 基本初等函数的图形及其主要性质344

附录3 常用的三角公式350

附录4 常用曲线和曲面352

附录5 积分表356

习题参考答案365

参考文献384