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第一章 函数与极限1

第一节 变量与函数2

一、实数及其性质2

二、数轴、集合、区间、邻域3

三、函数及其图形6

四、几类重要的分段函数9

五、函数的几种特性11

六、反函数13

七、函数的四则运算法则与复合函数13

八、初等函数与双曲函数15

习题1-117

第二节 数列的极限19

一、数列极限的定义19

二、收敛数列的性质24

三、收敛数列的四则运算26

四、数列极限存在的判别准则28

五、子数列的收敛性32

六、重要极限32

习题1-234

第三节 函数的极限35

一、自变量趋于有限值时函数的极限36

二、自变量趋于无穷大时函数的极限38

三、单侧极限40

四、函数极限的性质42

五、无穷小量与无穷大量44

六、函数极限与数列极限的关系49

习题1-351

第四节 函数极限的四则运算与复合函数的极限52

一、函数极限的四则运算52

二、复合函数的极限运算56

习题1-457

第五节 重要极限 无穷小的比较58

一、函数极限存在准则58

二、两个重要极限59

三、无穷小阶的比较63

习题1-566

第六节 函数的连续性与间断点68

一、函数的连续性概念68

二、连续函数的运算法则71

三、函数的间断点及其分类74

四、闭区间上连续函数的性质76

习题1-683

第七节 Mathematica在函数、极限与连续中的应用85

一、Mathematica基础知识85

二、Mathematica在函数、极限中的应用93

本章小结97

总习题一103

第二章 导数与微分106

第一节 导数的概念107

一、引例107

二、导数的定义109

三、导函数112

四、导数的几何意义114

五、函数的可导性与连续性的关系115

六、导数在其他学科中的含义——变化率117

习题2-1117

第二节 微分的概念119

一、微分的定义120

二、微分的几何意义123

三、利用微分进行近似计算123

习题2-2126

第三节 函数的微分法127

一、函数和、差、积、商的导数与微分法则127

二、复合函数的微分法130

三、反函数的微分法133

四、初等函数的微分135

习题2-3138

第四节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数141

一、隐函数求导141

二、对数求导法143

三、参数方程确定的函数的导数146

四、相关变化率149

习题2-4150

第五节 高阶导数与高阶微分152

一、高阶导数152

二、高阶求导法则155

三、高阶微分158

习题2-5159

第六节 Mathematica的应用——导数与微分的计算161

一、基本命令161

二、实验举例162

第七节 几种常用的曲线163

本章小结167

总习题二169

第三章 微分中值定理与导数的应用172

第一节 微分中值定理172

一、罗尔定理173

二、拉格朗日中值定理175

三、柯西中值定理179

习题3-1181

第二节 洛必达法则182

一、0/0型未定式183

二、∞/∞型未定式185

三、其他类型的未定式185

习题3-2190

第三节 泰勒公式191

习题3-3199

第四节 函数的单调性与极值判定200

一、函数的单调性及其判定200

二、函数的极值及其判定204

三、最大值和最小值问题209

习题3-4214

第五节 曲线的凹凸性与拐点217

习题3-5221

第六节 函数图形的描绘222

一、曲线的渐近线222

二、函数的作图225

习题3-6229

第七节 曲率229

一、曲率229

二、曲率圆与曲率半径235

三、曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线237

习题3-7239

第八节 Mathematica在导数中的应用240

一、基本命令240

二、实验举例240

本章小结242

总习题三247

第四章 一元函数积分学及其应用250

第一节 定积分的概念251

一、定积分问题举例251

二、定积分定义253

三、定积分的存在性256

习题4-1258

第二节 定积分的性质259

一、定积分的基本性质259

二、积分中值定理262

习题4-2265

第三节 微积分基本公式与基本定理266

一、微积分基本公式266

二、微积分基本定理268

习题4-3274

第四节 不定积分的基本积分法276

一、不定积分概念与性质277

二、基本积分表278

三、换元积分法280

四、分部积分法293

习题4-4298

第五节 有理函数的积分301

一、有理函数的积分301

二、可化为有理函数的积分305

习题4-5311

第六节 定积分的计算法312

习题4-6317

第七节 定积分的应用319

一、定积分的元素法320

二、定积分在几何学中的应用322

三、定积分在物理学中的应用334

习题4-7338

第八节 反常积分342

一、问题提出342

二、无穷限的反常积分343

三、无界函数的反常积分346

四、反常积分的审敛法349

五、Г函数355

习题4-8357

第九节 Mathematica在一元积分学中的应用359

一、不定积分的计算359

二、定积分的计算361

三、定积分的应用362

本章小结363

总习题四374

第五章 无穷级数379

第一节 常数项级数的概念与性质380

一、常数项级数的概念380

二、收敛级数的基本性质383

三、柯西收敛原理386

习题5-1387

第二节 常数项级数的审敛法388

一、正项级数及其审敛法388

二、交错级数及其审敛法395

三、绝对收敛与条件收敛397

习题5-2403

第三节 幂级数405

一、函数项级数的概念405

二、幂级数及其收敛性406

三、幂级数的运算411

四、和函数的性质412

习题5-3415

第四节 函数展开成幂级数及其应用416

一、泰勒级数416

二、函数展开成幂级数418

三、函数幂级数展开式的应用426

习题5-4433

第五节 傅里叶级数433

一、问题的提出433

二、三角函数系的正交性436

三、函数展开成傅里叶级数437

四、正弦级数与余弦级数441

五、定义在有限区间[a， b]上的函数展开成傅里叶级数443

六、定义在区间[0， l]上的函数展开成正弦级数或余弦级数445

七、傅里叶级数的复数形式447

习题5-5449

第六节 Mathematica在级数中的应用450

一、基本命令450

二、实验举例451

本章小结453

总习题五459

部分习题答案与提示462

参考文献485