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第1章 函数 极限 连续1

1.1 映射与函数1

集合1

邻域1

映射2

函数3

函数的基本特性6

基本初等函数7

初等函数12

1.2 数列的极限及其性质13

数列13

数列极限13

数列的有界性14

收敛数列的性质14

1.3 函数的极限及其性质15

极限定义（x→x0）15

极限定义（x→∞）16

函数极限的性质17

1.4 无穷小与无穷大19

无穷小19

无穷小与函数极限关系19

无穷大20

无穷大与无穷小关系20

1.5 极限运算法则20

无穷小运算法则20

极限的四则运算法则21

1.6 极限存在准则 两个重要极限21

夹逼准则21

单调数列22

单调有界准则22

两个重要极限22

1.7 无穷小的比较23

无穷小的比较23

常用等价无穷小23

等价无穷小的充要条件24

无穷小的等价代换24

1.8 函数的连续性与间断点25

函数在一点处连续定义25

函数在开区间上连续26

函数在闭区间上连续26

函数的间断点定义26

第一类间断点27

第二类间断点27

连续函数的和、差、积、商的连续性27

反函数的连续性28

复合函数的极限运算法则28

复合函数的连续性28

基本初等函数的连续性29

初等函数的连续性29

闭区间上连续函数的性质29

本章知识点及其关联网络30

第2章 导数与微分31

2.1 导数概念31

导数定义31

左导数定义32

右导数定义32

导数几何意义32

切线与法线公式33

开区间内可导33

闭区间上可导33

导函数定义33

可导性与连续性的关系34

高阶导数定义34

2.2 函数的求导法则34

导数四则运算法则34

反函数求导法则35

复合函数求导法则35

隐函数求导法则35

对数求导法则36

参数方程求导法则37

常数和基本初等函数的导数公式39

常用高阶导数公式39

相关变化率40

2.3 函数微分概念与微分运算法则41

微分定义41

可微的充分必要条件42

函数在任意点的微分42

基本初等函数的微分公式42

函数和、差、积、商的微分法则44

复合函数微分法则44

本章知识点及其关联网络45

第3章 微分中值定理与导数应用46

3.1 微分中值定理46

费马引理46

罗尔定理46

拉格朗日中值定理46

柯西中值定理46

泰勒公式47

3.2 导数应用49

极限的未定式49

洛必达法则50

函数单调性判别法则51

函数凹凸性定义51

函数拐点定义52

函数凹凸性判别法53

函数极值定义53

函数极值的必要条件53

函数极值第一充分条件53

函数极值第二充分条件54

函数极值第三充分条件54

曲线的渐近线54

曲线的弧微分公式55

曲率公式56

本章知识点及其关联网络57

第4章 不定积分58

4.1 不定积分的概念与性质58

原函数定义58

不定积分定义58

不定积分性质59

4.2 不定积分的计算方法60

直接积分法60

换元积分法60

分部积分法61

基本积分公式61

4.3 特殊函数的不定积分63

（1）有理函数的积分63

有理函数63

有理函数真分式的部分分式之和公式64

有理函数积分法65

（2）三角函数有理式的积分65

三角函数有理式65

三角函数有理式积分法65

（3）简单无理函数的积分66

简单无理函数66

简单无理函数积分法66

常见的无法用初等函数表示的不定积分66

本章知识点及其关联网络67

第5章 定积分68

5.1 定积分的概念与性质68

定积分定义68

可积的充分条件69

关于定积分的两点规定70

定积分性质70

5.2 微积分基本公式72

积分上限函数定义72

积分上限函数的性质73

牛顿-莱布尼兹公式73

5.3 定积分的计算74

定积分的换元积分法74

定积分的分部积分法75

定积分的几个常用结果75

5.4 反常积分76

无穷限的反常积分定义76

无穷限反常积分的计算78

无界函数反常积分的定义79

无界函数反常积分的计算81

本章知识点及其关联网络82

第6章 定积分应用83

6.1 定积分元素法83

定积分元素法83

6.2 几何应用84

（1）平面图形面积84

直角坐标系中平面图形面积84

极坐标系中平面图形面积85

（2）空间体的体积86

旋转体的体积86

平行截面面积已知的空间体的体积86

（3）平面曲线弧长87

平面曲线弧长的定义87

曲线弧长公式88

6.3 物理应用89

变力沿直线作功89

水压力90

引力91

6.4 平均值94

函数的平均值94

函数的均方根94

本章知识点及其关联网络95

第7章 空间解析几何与向量代数96

7.1 空间直角坐标系96

空间直角坐标系96

空间点的坐标97

空间两点间的距离公式98

7.2 空间向量及其运算98

向量98

空间点M的向径99

自由向量99

向量a与b相等99

向量a与b平行99

向量的模99

单位向量99

向量加法99

向量加法的运算算律100

负向量101

向量的差101

向量与数的乘法101

向量与数的乘法运算算律101

向量平行的充分必要条件102

非零向量的单位化102

7.3 向量的坐标102

向量坐标102

向量加法、减法和数乘运算的坐标表示102

向量a//b的坐标表示103

向量模的坐标表示103

两向量的夹角103

向量的方向角103

向量的方向余弦及其性质103

向量在轴上的投影104

投影定理104

投影性质104

7.4 数量积 向量积 混合积105

（1）向量的数量积105

数量积定义105

数量积的性质105

数量积的坐标表示106

两个向量夹角余弦的坐标表示106

（2）向量的向量积107

向量积定义107

向量积的性质107

向量积的坐标表示107

（3）向量的混合积108

混合积的定义108

混合积的坐标表示108

混合积的几何意义108

7.5 空间曲面及其方程109

曲面方程的概念109

旋转曲面109

旋转曲面方程109

柱面110

空间曲面的参数方程111

二次曲面111

二次曲面方程111

7.6 空间曲线及其方程112

空间曲线112

空间曲线的一般方程112

空间曲线的参数方程112

空间曲线在坐标面上的投影112

7.7 平面及其方程113

平面的法向量113

平面方程113

两平面的夹角114

两平面垂直的条件115

两平面平行的条件115

平面外一点到平面的距离115

7.8 空间直线及其方程115

直线的方向向量115

空间直线方程115

两直线的夹角116

两直线夹角的余弦公式117

直线与平面的夹角117

直线与平面夹角的公式117

直线外一点到直线的距离117

本章知识点及其关联网络118

第8章 多元函数微分法及其应用119

8.1 多元函数的基本概念119

坐标平面119

平面点集119

平面上点P0的δ邻域119

平面上点P0的去心δ邻域120

内点120

外点120

边界点与边界120

聚点121

开集121

闭集121

连通集121

区域（或开区域）121

闭区域121

有界点集和无界点集122

二元函数定义122

n元函数定义122

二元函数极限定义123

二元函数连续定义123

二元函数间断点定义124

多元连续函数的和、差、积、商的连续性124

多元连续函数的复合函数的连续性124

多元初等函数的概念124

多元初等函数的连续性124

有界闭区域上连续函数的性质125

8.2 偏导数126

二元函数偏导数定义126

二元函数偏导数的几何意义127

二元函数高阶偏导数概念128

二阶混合偏导与求导顺序无关的条件129

8.3 全微分129

二元函数的偏增量与偏微分的概念129

二元函数的全增量与全微分的定义129

全微分存在的必要条件130

全微分存在的充分条件130

n元函数全微分的表达式131

8.4 多元复合函数的求导法则131

中间变量均为一元函数的情形131

中间变量均为多元函数的情形132

中间变量既有一元函数又有多元函数的情形133

全微分形式的不变性133

8.5 隐函数的求导公式134

单一方程情形134

方程组情形135

多元反函数求导公式136

8.6 微分在几何上的应用139

空间曲线的切线概念139

空间曲线的切向量140

空间曲线的切线方程140

空间曲线的法平面及其方程140

其他形式的空间曲线方程的切线与法平面方程140

曲面的切平面和法线的概念142

曲面法向量的概念142

曲面的切平面与法线方程143

曲面法向量的方向余弦144

二元函数全微分的几何意义145

8.7 方向导数与梯度145

方向导数定义145

方向导数的存在条件和计算公式146

梯度的概念146

梯度与方向导数的关系147

8.8 多元函数的极值及其求法148

二元函数极值的定义148

极值的必要条件149

极值的充分条件149

条件极值与无条件极值150

拉格朗日乘子法150

本章知识点及其关联网络①（多元函数微分法）152

本章知识点及其关联网络②（多元函数微分法应用）153

第9章 重积分154

9.1 二重积分的概念与性质154

二重积分定义154

二重积分性质155

9.2 二重积分的计算法157

直角坐标系中二重积分的计算157

极坐标系中二重积分的计算159

二重积分换元定理161

9.3 三重积分162

三重积分定义162

三重积分性质163

直角坐标系中三重积分的计算163

柱坐标系中三重积分的计算166

球坐标系中三重积分的计算168

9.4 重积分应用171

（1）几何应用171

曲面面积171

（2）物理应用172

质心坐标172

转动惯量174

引力175

本章知识点及其关联网络178

第10章 曲线积分与曲面积分179

10.1 对弧长的曲线积分179

对弧长曲线积分的定义179

对弧长曲线积分的性质180

对弧长曲线积分的计算公式182

对弧长曲线积分的计算步骤183

10.2 对坐标的曲线积分183

对坐标曲线积分的定义183

对坐标曲线积分的性质186

对坐标曲线积分的计算公式186

对坐标曲线积分的计算步骤188

两类曲线积分之间的联系189

10.3 格林公式190

单连通域与复连通域190

平面区域边界的正方向190

格林公式190

曲线积分与路径无关的概念191

曲线积分与路径无关的等价条件191

曲线积分与路径无关的充分必要条件191

二元函数全微分求积的概念192

二元函数全微分求积的条件与方法192

10.4 曲线积分的应用194

（1）几何应用194

弧长的计算194

柱面的面积195

（2）物理应用195

线状物体的质量195

线状物体的质心196

线状物体的转动惯量197

变力沿曲线作功197

10.5 对面积的曲面积分198

对面积曲面积分的定义198

对面积曲面积分的性质199

对面积曲面积分的计算步骤和计算公式200

10.6 对坐标的曲面积分202

有向曲面的概念202

有向曲面的方向202

有向曲面在坐标面上的投影203

对坐标曲面积分的定义203

对坐标曲面积分的性质205

对坐标曲面积分的计算步骤和计算公式206

两类曲面积分之间的联系208

10.7 高斯公式 通量和散度209

高斯公式209

通量和散度210

10.8 斯托克斯公式 环流量和旋度210

斯托克斯公式210

环流量和旋度211

10.9 曲面积分的应用212

（1）几何应用212

空间曲面面积212

（2）物理应用212

曲面状物体的质量212

曲面状物体的质心213

面状物体的转动惯量213

本章知识点及其关联网络①（曲线积分）214

本章知识点及其关联网络②（曲面积分）215

第11章 无穷级数216

11.1 常数项级数的概念和性质216

常数项级数定义216

级数的前n项和数列216

级数收敛和发散定义216

级数余项定义217

收敛级数的基本性质217

级数收敛的必要条件218

柯西审敛原理218

11.2 常数项级数的审敛法218

正项级数定义218

正项级数收敛的充分必要条件218

正项级数的比较审敛法219

正项级数的比较审敛法推论219

三个重要级数的敛散性220

正项级数比较审敛法的极限形式220

正项级数的极限审敛法221

正项级数的比值审敛法（达朗贝尔（D'Alembert）判别法）221

正项级数的根值审敛法（柯西（Cauchy）判别法）222

交错级数定义222

交错级数审敛法（莱布尼兹定理）222

绝对收敛和条件收敛222

绝对收敛级数的性质223

11.3 幂级数224

函数项级数定义224

函数项级数的收敛域和发散域224

函数项级数的和函数及余项225

幂级数226

阿贝尔（Abel）定理226

阿贝尔（Abel）定理推论226

幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域226

幂级数收敛半径的求法227

幂级数的四则运算227

幂级数和函数的性质229

泰勒级数230

麦克劳林级数231

函数展成泰勒级数231

常用函数的麦克劳林级数231

11.4 函数项级数的一致收敛性232

函数项级数的一致收敛性232

函数项级数一致收敛性的判别法（维尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法）233

一致收敛级数的性质233

幂级数的一致收敛性235

11.5 复数项级数和欧拉公式235

复数项级数235

复数项级数的收敛性235

复数项级数的绝对收敛性236

欧拉（Euler）公式236

11.6 傅里叶级数237

三角级数237

傅里叶级数237

收敛定理（狄利克雷（Dirichler）充分条件）237

奇函数与偶函数的傅里叶系数238

正弦级数238

余弦级数238

以2l为周期的函数的傅里叶级数239

本章知识点及其关联网络①（数项级数）241

本章知识点及其关联网络②（幂级数、傅里叶级数）242

第12章 微分方程243

12.1 微分方程的基本概念243

微分方程定义243

微分方程的阶243

n阶微分方程的一般形式243

微分方程的解243

12.2 一阶微分方程244

可分离变量的微分方程及其解法244

齐次方程及其解法244

一阶线性微分方程245

伯努利方程246

全微分方程247

积分因子247

12.3 高阶可降阶微分方程248

y（n）＝f（x）型的微分方程248

y″＝f（x，y′）型的微分方程248

y″＝f（y，y′）型的微分方程248

12.4 高阶线性微分方程249

二阶线性微分方程249

二阶齐次线性微分方程解的叠加原理249

函数的线性相关与线性无关249

二阶齐次线性微分方程的通解结构250

n阶齐次线性微分方程的通解结构250

二阶非齐次线性微分方程的通解结构250

二阶非齐次线性微分方程解的叠加原理251

12.5 常系数齐次线性微分方程251

二阶常系数齐次线性微分方程251

二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程252

二阶常系数齐次线性微分方程的求解步骤252

n阶常系数齐次线性微分方程252

n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程253

n阶常系数齐次线性微分方程的通解253

12.6 常系数非齐次线性微分方程254

二阶常系数非齐次线性微分方程254

f（x）＝eλxPm（x）型254

f（x）＝eλx［Pl（x）cosωx＋Pn（x）sinωx］型255

本章知识点及其关联网络256

第13章 行列式257

13.1 行列式的概念257

排列的逆序与逆序数257

n阶行列式的定义257

几种特殊行列式的值259

13.2 行列式的基本性质260

行列式的基本性质260

余子式和代数余子式264

13.3 行列式按行（列）展开定理264

行列式按行（列）展开定理264

范德蒙行列式265

13.4 克莱姆法则解线性方程组266

克莱姆法则266

克莱姆法则的等价定理267

本章知识点及其关联网络268

第14章 矩阵及其运算269

14.1 矩阵的概念269

矩阵定义269

几种特殊矩阵269

14.2 矩阵的运算271

矩阵的线性运算271

矩阵的乘法272

方阵的幂273

矩阵的转置273

方阵的行列式274

共轭矩阵274

对称矩阵274

反对称矩阵275

伴随矩阵275

14.3 逆矩阵275

逆矩阵的定义275

可逆的充分必要条件276

逆矩阵的运算性质276

矩阵方程的求解276

逆矩阵的求法277

14.4 矩阵的初等变换278

矩阵初等变换定义278

等价矩阵278

初等矩阵278

初等矩阵的性质281

14.5 矩阵的秩283

r阶子式283

矩阵秩的定义283

矩阵秩的性质283

利用初等变换求矩阵的秩284

14.6 分块矩阵法284

分块矩阵定义284

常用分块法284

分块矩阵的运算286

本章知识点及其关联网络291

第15章 向量组的线性相关性292

15.1 向量及其线性运算292

向量的定义292

两向量的相等292

向量的线性运算292

向量线性运算的性质293

15.2 向量的线性相关性294

线性组合294

向量的线性表示294

向量的线性相关性295

向量的线性相关性的判别定理295

向量线性相关性的几个重要定理296

向量线性相关性的几个重要结论297

15.3 最大无关组与向量组的秩297

最大无关组定义297

向量组的秩298

向量组的秩的重要定理298

15.4 向量空间298

向量空间298

向量空间的基299

向量空间的维数299

向量在某组基下的坐标299

子空间300

基变换公式300

坐标变换公式301

15.5 向量的内积301

向量的内积301

向量的长度302

两向量的夹角303

正交向量组的性质303

15.6 标准正交基与正交矩阵303

标准正交基303

施密特正交化方法303

正交矩阵304

正交矩阵的性质304

本章知识点及其关联网络306

第16章 线性方程组307

16.1 齐次线性方程组307

齐次线性方程组有解的判别308

齐次线性方程组解的性质308

齐次线性方程组的基础解系308

齐次线性方程组解的结构308

齐次线性方程组的求解（利用矩阵的初等变换）步骤308

16.2 非齐次线性方程组309

非齐次线性方程组有解的判别310

非齐次线性方程组解的性质310

非齐次线性方程组解的结构311

解n元非齐次线性方程组的步骤311

本章知识点及其关联网络312

第17章 特征值 特征向量313

17.1 特征值、特征向量及其性质313

方阵的特征值、特征向量313

特征值、特征向量的求法314

特征值、特征向量的性质314

17.2 相似矩阵315

相似矩阵315

相似矩阵的性质316

17.3 矩阵可对角化的条件317

17.4 实对称矩阵的对角化317

本章知识点及其关联网络319

第18章 二次型及其标准形320

18.1 二次型的矩阵表示，合同矩阵320

二次型320

二次型的矩阵320

合同矩阵321

合同矩阵的性质321

18.2 线性变换化二次型为标准形323

配方法323

正交变换法323

用正交变换法化二次型为标准形的步骤324

惯性定理324

18.3 正定二次型、正定矩阵325

正定二次型、正定矩阵325

正定二次型、正定矩阵的判别325

负定二次型负定矩阵的判别326

半正定二次型、半正定矩阵的判别327

本章知识点及其关联网络328

第19章 随机事件与概率329

19.1 随机试验329

随机现象329

随机试验329

19.2 样本空间、随机事件329

样本空间与样本点329

随机事件330

事件的关系和运算330

事件的运算算律331

19.3 频率与概率332

频率332

概率的统计定义333

概率的公理化定义333

概率的性质334

19.4 等可能概型（古典概率）335

古典概型335

古典概率的计算公式335

古典概率的性质335

几何概率336

19.5 条件概率337

条件概率定义337

条件概率的性质337

乘法公式337

划分（完备事件组）338

全概率公式338

贝叶斯公式（Bayes）（逆全概率公式）338

19.6 独立性339

两事件的独立性339

三事件的独立性339

n个事件的相互独立性340

本章知识点及其关联网络341

第20章 随机变量及其分布342

20.1 随机变量342

20.2 离散型随机变量及其分布律342

离散型随机变量342

分布律342

常见的离散型分布343

20.3 随机变量的分布函数344

分布函数的定义344

分布函数的性质344

20.4 连续型随机变量及其概率密度345

连续型随机变量345

连续型随机变量的性质345

常见的连续型分布345

20.5 随机变量函数的分布350

离散型随机变量函数的分布350

连续型随机变量函数的分布350

本章知识点及其关联网络352

第21章 多维随机变量353

21.1 二维随机变量353

二维随机变量定义353

联合分布函数353

二维离散型随机变量354

二维连续型随机变量355

21.2 边缘分布356

边缘分布函数356

边缘分布律356

边缘概率密度357

21.3 条件分布357

条件分布律357

条件概率密度357

21.4 相互独立的随机变量358

二维随机变量相互独立的定义358

随机变量相互独立的判别方法358

二维均匀分布359

二维正态分布360

21.5 两个随机变量的函数的分布361

Z＝X＋Y的分布（两个随机变量和的分布）361

M＝max｛X，Y｝及N＝min｛X，Y｝的分布（两个随机变量的最大最小分布）362

本章知识点及其关联网络364

第22章 随机变量的数字特征365

22.1 数学期望（简称均值）365

离散型随机变量的数学期望365

连续型随机变量的数学期望365

随机变量函数的数学期望366

数学期望的性质367

22.2 方差368

方差的定义368

方差计算公式368

方差的性质368

常见随机变量的期望和方差368

22.3 协方差及相关系数369

协方差定义369

协方差的性质369

相关系数370

相关系数性质370

不相关370

22.4 矩371

k阶矩371

k阶中心矩371

混合矩371

混合中心矩371

本章知识点及其关联网络372

第23章 大数定律与中心极限定理373

23.1 大数定律373

切比雪夫不等式373

大数定律373

23.2 中心极限定理374

独立同分布的中心极限定理374

棣莫弗-拉普拉斯定理375

本章知识点及其关联网络377

第24章 样本及抽样分布378

24.1 随机样本378

总体378

样本378

样本的分布378

24.2 抽样分布379

统计量379

常用统计量379

x2分布（卡方分布）380

t分布382

F分布383

正态总体的样本均值的分布385

正态总体的样本方差的分布385

正态总体的样本均值与样本方差关系的分布385

两正态总体的样本均值差和方差比的分布386

本章知识点及其关联网络387

第25章 参数估计388

25.1 点估计388

点估计的定义388

矩估计法388

最大似然估计法389

25.2 估计量的评选标准392

无偏性392

有效性392

相合性（一致性）392

25.3 区间估计393

置信区间393

寻求置信区间的方法393

25.4 正态总体均值与方差的区间估计394

单个正态总体均值的区间估计394

单个正态总体方差的区间估计395

两个正态总体均值差的置信区间395

两个正态总体方差比的置信区间396

25.5 （0-1）分布参数的区间估计396

25.6 单侧置信区间397

本章知识点及其关联网络398

第26章 假设检验399

26.1 假设检验399

假设检验399

假设检验的基本思想399

显著性假设检验400

假设检验的步骤400

26.2 正态总体均值的假设检验401

单个正态总体均值的假设检验401

两个正态总体均值差异的显著性检验402

26.3 正态总体方差的假设检验403

单个正态总体方差的假设检验403

两个正态总体方差的齐性检验（F检验法）404

本章知识点及其关联网络405

附表406

附表1 标准正态分布表406

附表2 泊松分布表408

附表3 t分布表411

附表4 x2分布表414

附表5 F分布表419