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第1部分 高等数学2

第1章 函数极限连续2

考点1.1.1函数的概论及其性质2

题型1.1.1.1求分段函数的复合函数2

题型1.1.1.2求反函数的表示式3

题型1.1.1.3判别函数的奇偶性3

题型1.1.1.4判别变上限积分函数F（x）=∫x0f（t）dt的奇偶性5

题型1.1.1.5判别（证明）函数的周期性6

考点1.1.2极限的概念与基本性质6

题型1.1.2.1正确理解极限定义中的“e-N”，“ε-δ”，“e-X”语言的含义6

题型1.1.2.2运用极限的保序性、保号性求解有关问题6

题型1.1.2.3数列极限的概念及其运算性质7

考点1.1.3求函数极限8

题型1.1.3.1求0/0或∞/∞型未定式极限9

题型1.1.3.2求∞-∞型未定式极限11

题型1.1.3.3求幂指函数型（0°型、∞°型、1∞型）未定式极限12

题型1.1.3.4求含根式和（或根式差）的未定式极限14

题型1.1.3.5求需先考察左、右（单侧）极限的函数极限16

题型1.1.3.6求含指数函数差因子的函数极限16

考点1.1.4数列极限17

题型1.1.4.1数列极限存在性的判定17

题型1.1.4.2由递推关系式定义的数列极限存在性的证明及其极限的求法18

题型1.1.4.3求数列极限19

题型1.1.4.4求某些积和式的极限20

考点1.1.5无穷小量或无穷大量的比较22

题型1.1.5.1无穷小量阶的比较22

题型1.1.5.2无穷大量阶的比较24

考点1.1.6已知一极限，确定待定常数、待定函数或另一待求极限25

题型1.1.6.1已知极限式的极限反求其所含的未知参数25

题型1.1.6.2已知含未知函数的一极限，求含该函数的另一函数极限29

考点1.1.7讨论函数的连续性及间断点的类型30

题型1.1.7.1讨论函数的连续性30

题型1.1.7.2判别函数f（x）的间断点的类型32

题型1.1.7.3利用连续性确定待定常数35

题型1.1.7.4利用函数的连续性证明方程实根的存在性37

第2章 一元函数微分学39

考点1.2.1导数定义的应用39

题型1.2.1.1讨论函数在某点的可导性39

题型1.2.1.2讨论分段函数的可导性及其导数的求法40

题型1.2.1.3利用导数定义求极限或导数41

题型1.2.1.4利用导数定义讨论函数性质42

考点1.2.2讨论含绝对值函数的可导性43

题型1.2.2.1讨论绝对值函数|f（x）|的可导性43

题型1.2.2.2讨论函数f（x）=|ψ（x）|g（x）的可导性44

考点1.2.3求一元函数的导数和微分46

题型1.2.3.1求隐函数的导数46

题型1.2.3.2求反函数的导数48

题型1.2.3.3求由参数方程所确定的函数的导数48

题型1.2.3.4求某些简单函数的高阶导数50

题型1.2.3.5求一元函数的微分52

考点1.2.4利用微分中值定理证明中值等式53

题型1.2.4.1利用罗尔定理证明中值等式53

题型1.2.4.2利用拉格朗日中值定理在证明与中值等式有关的问题上的应用56

题型1.2.4.3柯西中值定理的应用58

题型1.2.4.4求解高阶导数中值满足的等式58

考点1.2.5利用导数和极限讨论函数的性态61

题型1.2.5.1判定函数的单调性61

题型1.2.5.2函数极值点的判定62

题型1.2.5.3利用极限式判定函数是否取得极值64

题型1.2.5.4利用所给（二阶微分）方程讨论函数是否取得极值，其曲线是否有拐点65

题型1.2.5.5求曲线的凹凸区间与拐点67

题型1.2.5.6利用极值点或拐点讨论函数性质71

题型1.2.5.7求函数f（x）在区间[a，b]上的最值71

题型1.2.5.8求曲线的渐近线72

题型1.2.5.9确定函数方程存在实根75

考点1.2.6利用导数证明函数不等式77

题型1.2.6.1证明函数不等式77

题型1.2.6.2证明数值不等式79

考点1.2.7导数的几何和物理应用82

题型1.2.7.1平面曲线方程由显函数y=f（x）给出，求其切线和法线方程82

题型1.2.7.2曲线方程由隐函数方程F（x，y）=0给出，求其切线和法线方程82

题型1.2.7.3曲线方程由参数方程﹛x=x（t)/y=y（t）出，求其切线与法线83

题型1.2.7.4曲线方程由极坐标方程r=r（θ）给出，求其切线与法线方程84

题型1.2.7.5求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题85

题型1.2.7.6求解现两曲线相切的有关问题85

题型1.2.7.7求解与曲率有关的问题85

题型1.2.7.8求解与变化率有关的问题86

第3章 一元函数积分学87

考点1.3.1计算不定积分87

题型1.3.1.1计算被积函数中含有积分变量的无理根式的不定积分87

题型1.3.1.2计算被积函数中含有对数函数的不定积分88

题型1.3.1.3求被积函数含反三角函数的不定积分89

题型1.3.1.4计算被积函数为有理函数的不定积分90

题型1.3.1.5求被积函数为两类不同函数乘积的不定积分90

考点1.3.2计算定积分91

题型1.3.2.1用分部积分法计算定积分91

题型1.3.2.2计算需用换元法计算的定积分92

题型1.3.2.3利用定积分的重要特性简化计算定积分93

题型1.3.2.4计算被积函数含抽象函数导数或被积函数导数已知的积分96

题型1.3.2.5比较和估计定积分的大小97

考点1.3.3变限积分99

题型1.3.3.1求含变限积分的函数导数99

题型1.3.3.2求分段函数的变限积分100

题型1.3.3.3求与变限积分有关的极限101

题型1.3.3.4求变限积分函数的定积分102

题型1.3.3.5讨论变限积分函数的性质103

考点1.3.4计算反常积分（广义积分）106

题型1.3.4.1计算无穷区间上的反常积分106

题型1.3.4.2计算无界函数的反常积分108

题型1.3.4.3判别混合型反常积分的敛散性111

考点1.3.5定积分在几何上和物理上的应用112

题型1.3.5.1计算平面图形的面积112

题型1.3.5.2已知曲线方程，求其绕坐标轴旋转所得旋转体的侧面积（表面积）115

题型1.3.5.3已知曲线方程，求其绕坐标轴旋转所得的旋转体体积117

题型1.3.5.4计算平行截面面积已知的立体体积120

题型1.3.5.5计算平面曲线的弧长121

题型1.3.5.6求解定积分的应用与最值问题相结合的综合题123

题型1.3.5.7求函数在区间上的平均值125

题型1.3.5.8定积分在物理上的应用125

第4章 多元函数微分学129

考点1.4.1多元函数微分学中若干基本概念及其联系129

题型1.4.1.1多元函数微分学中几个基本概念129

题型1.4.1.2二元函数在某点极限存在、连续、可偏导及可微的关系130

考点1.4.2计算多元函数的偏导数和全微分131

题型1.4.2.1求多元显函数的偏导数或全微分131

题型1.4.2.2求抽象复合函数的偏导数或全微分134

题型1.4.2.3利用隐函数存在性定理确定隐函数136

题型1.4.2.4求隐函数的偏导数或全微分136

题型1.4.2.5求二元函数的二阶混合偏导数或全微分138

题型1.4.2.6求含变限积分的二元函数的偏导数140

题型1.4.2.7求在变换下方程的变形140

考点1.4.3多元函数的极值与最值142

题型1.4.3.1二元函数无条件极值的判别及其求法143

题型1.4.3.2求二（多）元函数的条件极值144

题型1.4.3.3求二元函数的最大值和最小值147

第5章 二重积分149

考点1.5.1计算直角坐标系下的二重积分149

题型1.5.1.1化二重积分为累次积分149

题型1.5.1.2交换二次积分的积分次序150

题型1.5.1.3利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算152

题型1.5.1.4分块计算二重积分154

考点1.5.2用极坐标系计算二重积分157

题型1.5.2.1计算圆域或部分圆域上的二重积分157

考点1.5.3转换坐标系计算二重积分159

题型1.5.3.1将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分计算159

题型1.5.3.2将极坐标系下的二重积分转换为直角坐标系下的二次积分计算161

第6章 常微分方程164

考点1.6.1求解一阶微分方程164

题型1.6.1.1求解可分离变量的微分方程164

题型1.6.1.2求解齐次方程165

题型1.6.1.3求解一阶线性方程166

考点1.6.2求解高阶常系数线性微分方程169

题型1.6.2.1利用解的结构和性质求解微分方程169

题型1.6.2.2求解可降阶的微分方程170

题型1.6.2.3求解高阶常系数线性齐次微分方程的通解172

题型1.6.2.4确定二阶常系数非齐次微分方程的特解形式173

题型1.6.2.5求解二阶常系数非齐次线性方程174

题型1.6.2.6求解含变限积分的方程175

题型1.6.2.7求在变量代换下微分方程的变形，并求其解177

考点1.6.3已知微分方程的通（特）解反求该微分方程179

题型1.6.3.1已知微分方程的通（特）解，反求该齐次微分方程179

题型1.6.3.2已知其特解或通解反求该非齐次线性方程180

考点1.6.4微分方程的应用182

题型1.6.4.1微分方程在几何上的应用182

题型1.6.4.2微分方程在物理上的应用184

第2部分 线性代数188

第1章 行列式188

考点2.1.1计算数字型行列式188

题型2.1.1.1计算行（列）和相等的行列式188

题型2.1.1.2计算非零元素（主要）在一条或两条线上的行列式189

题型2.1.1.3计算非零元素在平行于主对角线的三条线上的行列式190

题型2.1.1.4计算含零子块的四分块矩阵的行列式的值192

考点2.1.2计算抽象矩阵的行列式193

题型2.1.2.1计算抽象乘积矩阵的行列式193

题型2.1.2.2已知一方阵的列向量组可由另一方阵的列向量组线性表示，又已知其中一矩阵的行列式，求另一矩阵的行列式193

题型2.1.2.3已知一矩阵方程，求其中一矩阵的行列式的值194

题型2.1.2.4利用秩、特征值、相似矩阵等计算行列式195

题型2.1.2.5计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式195

题型2.1.2.6计算抽象矩阵的线性组合的行列式196

题型2.1.2.7证明方阵的行列式等于零或不等于零197

考点2.1.3克莱姆法则的应用198

题型2.1.3.1求方程组AX=b的唯一解或判定方程组AX=0只有零解198

题型2.1.3.2已知方程组An×nX=0只有零解，或有非零解，确定待求常数198

第2章 矩阵200

考点2.2.1矩阵运算200

题型2.2.1.1利用矩阵乘法的结合律，计算乘积矩阵200

题型2.2.1.2计算方阵的高次幂202

题型2.2.1.3证明抽象矩阵可逆，并求其逆矩阵的表示式203

题型2.2.1.4求元素已知的矩阵的逆矩阵204

考点2.2.2求解与伴随矩阵有关的问题207

题型2.2.2.1计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式207

题型2.2.2.2求与伴随矩阵有关的矩阵的逆矩阵207

题型2.2.2.3求与伴随矩阵有关的矩阵的秩207

题型2.2.2.4求伴随矩阵的表达式208

考点2.2.3矩阵的秩209

题型2.2.3.1求数字型矩阵的秩209

题型2.2.3.2求抽象矩阵的秩210

题型2.2.3.3已知矩阵秩的有关信息，求其待定常数或其所满足的关系211

考点2.2.4求解矩阵方程212

题型2.2.4.1求解含或可化为含单位矩阵加项的矩阵方程212

题型2.2.4.2求解含伴随矩阵A*的矩阵方程214

题型2.2.4.3求解矩阵方程，该方程两边同含左（或右）乘可逆因子矩阵215

题型2.2.4.4求解矩阵方程AB+aA+bB+cE=O，可直接利用命题2.2.1.6求解215

题型2.2.4.5求解未知矩阵前（或后）的系数矩阵不是方阵或是方阵但不可逆的矩阵方程216

考点2.2.5求解与初等变换有关的问题217

题型2.2.5.1用初等矩阵表示矩阵的初等变换217

题型2.2.5.2利用初等矩阵及其性质表示变换前或变换后的矩阵及其性质218

题型2.2.5.3讨论与等价矩阵有关的问题219

第3章 向量221

考点2.3.1向量的线性组合与线性表示221

题型2.3.1.1讨论向量β能否用该向量组线性表示221

题型2.3.1.2讨论抽象向量能否由抽象向量组线性表示222

题型2.3.1.3求解一组向量由另一组向量线性表出的有关问题222

考点2.3.2向量组的线性相关性226

题型2.3.2.1判定（证明）向量组的线性相关性226

题型2.3.2.2已知一向量组线性无关，判别其线性组合的向量组的线性相关性227

题型2.3.2.3证明向量组线性无关228

考点2.3.3求向量组的极大线性无关组和向量组的秩232

题型2.3.3.1求向量组的极大线性无关组232

题型2.3.3.2求向量组的秩233

第4章 线性方程组235

考点2.4.1判定线性方程组的情况235

题型2.4.1.1判定齐次线性方程组解的情况235

题型2.4.1.2判定非齐次线性方程组解的情况235

考点2.4.2基础解系236

题型2.4.2.1基础解系的判定或证明236

题型2.4.2.2基础解系和特解的求法237

考点2.4.3求解线性方程组239

题型2.4.3.1求解不含参数的线性方程组的通解239

题型2.4.3.2求解含参数的线性方程组AX=b240

题型2.4.3.3求解其通解满足一定条件的含参数的线性方程组246

题型2.4.3.4求解参数仅出现在常数项的线性方程组248

考点2.4.4抽象线性方程组的求解249

题型2.4.4.1已知AX=b的特解，求其通解249

题型2.4.4.2利用线性方程组的向量形式求其通解251

考点2.4.5由其解反求线性方程组或其参数252

题型2.4.5.1已知AX=0或AX=b的解的情况，反求A中参数252

题型2.4.5.2已知方程组的基础解系，求其系数矩阵254

考点2.4.6求两线性方程组的公共解255

题型2.4.6.1已知两具体的线性方程组，求其公共解255

题型2.4.6.2两方程组中至少有一个方程组的通解已知，求其公共解256

考点2.4.7讨论两方程组同解的有关问题257

题型2.4.7.1证明两齐次线性方程组同解258

题型2.4.7.2已知两线性方程组有公共非零解或同解，求其待定常数259

第5章 矩阵的特征值和特征向量261

考点2.5.1求矩阵的特征值、特征向量261

题型2.5.1.1求数字型矩阵的特征值和特征向量261

题型2.5.1.2求抽象矩阵的特征值、特征向量262

题型2.5.1.3已知一矩阵的特征值、特征向量，求相关矩阵的特征值、特征向量263

考点2.5.2求与已知矩阵的特征值、特征向量有关的问题265

题型2.5.2.1已知矩阵的特征值、特征向量，反求其矩阵的待定常数265

考点2.5.3相似矩阵与相似对角化266

题型2.5.3.1判别两矩阵相似266

题型2.5.3.2判别方阵是否可相似对角化267

题型2.5.3.3相似矩阵性质的应用268

考点2.5.4与两矩阵相似的有关计算270

题型2.5.4.1已知A可相似对角化，即P-1AP=Λ，求相似对角矩阵Λ270

题型2.5.4.2已知矩阵A可相似对角化，求可逆矩阵P使P-1AP为对角矩阵271

题型2.5.4.3由特征值、特征向量，反求其矩阵273

题型2.5.4.4已知矩阵A和可逆矩阵P求A的相似矩阵B，使P-1AP=B274

考点2.5.5实对称矩阵性质的应用275

题型2.5.5.1已知实对称矩阵的一部分特征向量，求另一部分特征向量275

题型2.5.5.2 A为实对称矩阵，求正交矩阵Q使Q-1AQ为对角矩阵277

题型2.5.5.3利用相似对角化求矩阵的高次幂278

第6章 二次型280

考点2.6.1二次型的标准形280

题型2.6.1.1用正交变换化二次型（实对称矩阵）为标准形（对角矩阵）280

题型2.6.1.2已知二次型的标准形（规范形），求二次型中的未知参数283

考点2.6.2判别（证明）实二次型（实对称矩阵）的正定性285

题型2.6.2.1判别二次型或其矩阵的正定性285

题型2.6.2.2确定参数值使二次型或其矩阵正定287

考点2.6.3合同矩阵与合同变换289

题型2.6.3.1判别（证明）两实对称矩阵合同289

题型2.6.3.2讨论两矩阵相似与合同的关系290

附录1997—2012年考研数学二试题291

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题291

1998年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题292

1999年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题293

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题295

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题296

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题298

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题299

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题301

2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题303

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题305

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题306

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题308

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题310

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题312

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题313

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题315