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第1章 样本空间、事件和概率1

1.1 样本空间和事件1

1.1.1 必然现象和随机现象1

1.1.2 随机试验1

1.1.3　样本空间2

1.1.4　随机事件2

1.1.5　事件的运算3

1.2　概率5

1.2.1　古典概型5

1.2.2　频率概型8

1.2.3　几何概型9

1.2.4　公理化体系11

1.3　概率的性质11

1.4.1 条件概率15

1.4　条件概率与事件的独立性15

1.4.2　事件的独立性17

1.5　全概率公式和贝叶斯公式21

1.5.1　全概率公式21

1.5.2　贝叶斯公式22

习题24

第2章　随机变量和概率分布27

2.1　随机变量和分布函数27

2.1.1　随机变量27

2.1.2　分布函数27

2.2　离散型随机变量和连续型随机变量29

2.2.1　离散型随机变量及其分布列29

2.2.2　连续型随机变量及其密度函数30

2.2.3　非负连续型随机变量的故障率31

2.3.2　0—1值分布（伯努利分布）32

2.3　一些常用的离散型分布32

2.3.1　伯努利试验概型32

2.3.3　二项分布33

2.3.4　几何分布34

2.3.5　超几何分布（不放回抽样35

2.3.6　泊松分布36

2.4　一些常用的连续型分布38

2.4.1　均匀分布38

2.4.2　正态分布38

2.4.3　指数分布41

2.4.4　威布尔分布43

2.4.5　对数正态分布43

2.5　随机变量及其概率分布的无记忆性44

2.5.1　指数分布的无记忆性44

2.5.2　几何分布的无记忆性45

2.6　随机向量及其分布函数47

2.6.1　随机向量的联合分布47

2.6.2　离散型随机向量及其分布48

2.6.3　连续型随机向量及其分布50

2.7　随机变量的独立性53

2.8　随机变量和随机向量的函数54

2.8.1　随机变量的函数54

2.8.2　随机向量的函数58

2.8.3　可由“独立和”导出的一些分布61

习题65

第3章　随机变量的数字特征68

3.1　数学期望68

3.1.1　离散型随机变量的数学期望68

3.1.2　连续型随机变量的数学期望70

3.1.3　一般随机变量的数学期望72

3.1.4　数学期望的性质76

3.2　方差80

3.2.1　方差的定义及计算公式80

3.2.2　方差的性质84

3.3　矩和其他数学特征87

3.3.1　矩87

3.3.2　其他数字特征89

3.4　协方差和相关系数91

3.4.1　协方差91

3.4.2　相关系数92

3.4.3　不相关与相互独立的关系93

习题97

4.1　条件分布和条件密度99

4.1.1　定义99

第4章　条件数学期望和条件概率99

4.1.2　例子102

4.1.3　截尾分布106

4.2　条件数学期望110

4.2.1　关于随机事件的条件数学期望110

4.2.2　关于随机变量的条件数学期望111

4.2.3　条件数学期望的性质113

4.2.4　关于随机变量的条件概率和条件方差118

4.3　计算数学期望和概率的条件化方法119

4.3.1　计算数学期望和方差119

4.3.2　计算概率122

4.4　某些应用124

4.4.1　快速拣选算法分析124

4.4.2　匹配问题的继续讨论125

4.4.3　选票领先问题127

4.4.4 目录表模型128

4.5　剩余寿命及有关的寿命分布类129

4.5.1　剩余寿命129

4.5.2　随机序130

4.5.3　某些寿命分布类132

习题135

第5章　刻画随机变量概率分布的变换138

5.1　概率母函数138

5.1.1　定义及例子138

5.1.2　性质140

5.2　拉普拉斯变换和拉普拉斯—斯蒂尔切斯变换142

5.2.1　拉普拉斯变换概述142

5.2.2　非负随机变量的拉普拉斯—斯蒂尔切斯变换144

5.3　特征函数和矩母函数149

5.3.1　特征函数149

5.3.2　矩母函数150

习题151

第6章　极限定理152

6.1　随机变量的三种收敛性152

6.1.1　以概率1收敛性152

6.1.2　依概率收敛性152

6.1.3　依分布收敛性154

6.2　大数定律155

6.2.1　（弱）大数定律156

6.2.2　强大数定律159

6.2.3　在统计推断中的应用160

6.3　中心极限定理161

6.3.1　同分布情形161

6.3.2　非同分布情形161

6.3.4　应用例子164

6.3.3 中心极限定理和大数定律的关系164

习题166

第7章　随机过程168

7.1　随机过程的概念及概率分布律168

7.1.1　定义及分类168

7.1.2　随机过程的有限维分布族169

7.1.3　独立增量过程和平稳过程170

7.2　泊松过程171

7.2.1　计数过程171

7.2.2　齐次泊松过程的定义和性质171

7.2.3　齐次泊松过程的事件发生时刻的条件分布176

7.2.4　齐次泊松过程的叠加、稀疏和平移179

7.2.5　具有时倚强度的泊松过程182

7.2.6　非齐次泊松过程184

7.2.7　广义泊松过程186

7.2.8　一般泊松过程189

7.2.9　复合泊松过程和标值泊松过程190

7.3　更新过程192

7.3.1　更新过程的定义和计数Nt的性质192

7.3.2　更新函数194

7.3.3　更新方程197

7.3.4　更新定理199

7.3.5　变形更新过程和平衡更新过程205

7.3.6　交替更新过程208

7.3.7　更新回报过程和标值更新过程212

7.4　离散时间马尔可夫链216

7.4.1　定义和转移概率矩阵216

7.4.2　状态的分类和转移概率矩阵的分块219

7.4.3　极限定理和平稳分布224

7.4.4　随机游动229

7.4.5　分支过程234

7.5　连续时间马尔可夫链238

7.5.1　定义、转移概率矩阵和转移强度矩阵238

7.5.2　极限分布和前瞻、后顾方程241

7.5.3　生灭过程245

7.5.4　纯生过程和尤尔-弗雷过程250

7.5.5 半马尔可夫过程与马尔可夫更新过程253

7.6 随机过程在排队论和可靠性理论中的应用256

7.6.1　在排队论中的应用256

7.6.2　在可靠性理论中的应用263

7.7　离散时间鞅和半鞅272

7.7.1　定义和性质272

7.7.2　选择定理——时间参数随机化275

7.7.3　极限定理和封闭元278

7.7.4　半鞅的分解282

习题284

第8章　随机模拟289

8.1　均匀分布随机数289

8.1.1　引言289

8.1.2　均匀分布随机数290

8.2　连续型随机变量的一般模拟方法290

8.2.1　反函数法290

8.2.2　舍选法291

8.3　连续型随机变量的特殊模拟方法294

8.3.1　正态分布随机数294

8.3.2　瑞利分布随机数295

8.3.3　指数分布随机数295

8.3.4　Γ分布和x2分布随机数297

8.4.1　一般方法299

8.4 离散型随机变量的模拟299

8.4.2　基于伯努利试验概型的方法301

8.4.3　其他方法301

8.5　随机向量和随机过程的模拟302

8.5.1　随机向量的模拟302

8.5.2　齐次泊松过程的模拟303

8.5.3　非齐次泊松过程的模拟304

8.5.4　马尔可夫链的模拟306

习题307

第9章　概率论的测度论基础309

9.1　集合的σ代数——事件域309

9.1.1　集合的运算与各种集类309

9.1.2　单调类定理（集合形式）313

9.2.1　测度空间——概率空间315

9.2　测度——概率315

9.2.2　测度的延拓316

9.2.3　测度的完备化322

9.2.4　非负有限可加集函数成为测度的条件323

9.2.5 R和Rn上的勒贝格测度和勒贝格-斯蒂尔切斯测度325

9.3 可测函数——随机变量328

9.3.1 可测映射328

9.3.2 可测函数329

9.3.3 简单函数与可测函数的构造330

9.3.4　单调类定理（函数形式）332

9.4　积分——数学期望333

9.4.1　积分的定义333

9.4.2　积分的性质337

9.4.3 积分号下取极限341

9.4.4　数学期望的勒贝格-斯蒂尔切斯积分表示343

9.4.5　随机变量的独立性与数学期望的乘法性质345

9.5　可测函数列的收敛性347

9.5.1　可测函数列的几种收敛性348

9.5.2　函数空间Lp352

9.5.3　一致可积性356

9.6 乘积可测空间上的测度358

9.6.1　乘积可测空间358

9.6.2　有限维乘积测度与转移测度360

9.6.3　富比尼定理365

9.6.4　无穷维乘积概率370

9.6.5　柯尔莫哥洛夫相容性定理374

9.7　不定积分和条件数学期望379

9.7.1　符号测度及其分解379

9.7.2　勒贝格分解定理和拉东-尼可丁定理382

9.7.3　条件数学业期望的定义387

9.7.4　条件数学期望的性质390

9.7.5　条件独立性393

习题394

习题答案398

第1章398

第2章399

第3章400

第4章401

第5章402

第6章402

第7章402

第9章404

附录A　离散分布表405

附录B　泊松分布表408

附录C　名词索引412