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预备知识1

一、充分条件、必要条件及充要条件1

二、实数及其绝对值2

三、集合及其表示法4

四、区间5

第一章 函数6

1 函数的概念6

1.1 常量与变量6

1.2 变量之间确定的依赖关系——函数关系7

2 几类常见的函数15

2.1 单调函数15

2.2 奇函数与偶函数16

2.3 周期函数17

2.4 有界函数18

习题1.120

3 复合函数与反函数23

3.1 复合函数23

3.2 反函数25

4 基本初等函数的性质及图形28

4.1 常数函数28

4.2 幂函数28

4.3 指数函数29

4.4 对数函数30

4.5 三角函数31

4.6 反三角函数33

5.2 函数作图的几种常用的初等方法35

5 初等函数35

5.1 初等函数35

5.3 双曲函数41

习题1.243

第二章 极限与连续性46

1 极限的概念46

1.1 数列的极限46

1.2 函数的极限56

1.3 单侧极限62

1.4 数列极限与函数极限的关系66

习题2.168

2 极限的基本性质70

3.1 四则运算法则76

3 极限的运算法则76

3.2 复合函数求极限80

习题2.281

4 数列极限存在的一个定理82

4.1 有上界或有下界的数列82

4.2 单调数列82

4.3 单调有界数列的极限存在定理83

5 两个重要极限85

5.1 证明？=185

5.2 证明？(1+？)x=e89

习题2.393

6.1 无穷小量的概念94

6.2 无穷小量阶的比较94

6 无穷小量与无穷大量94

6.3 无穷小量的性质96

6.4 无穷大量98

6.5 无穷大量与无穷小量的关系99

6.6 无穷大量阶的比较100

习题2.4100

7 函数连续性的概念102

7.1 函数连续性的定义102

7.2 间断点的分类107

8 连续函数的运算法则108

8.1 连续函数的四则运算108

8.2 复合函数的连续性109

8.3 反函数的连续性110

9 初等函数的连续性111

10 闭区间上连续函数的性质115

10.1 中间值定理(介值定理)116

10.2 最大值、最小值定理117

10.3 一致连续性120

习题2.5122

第三章 导数与微分125

1 导数的概念125

1.1 导数的概念125

1.2 利用定义求导数的例子135

2 导数的计算法则138

2.1 导数的四则运算法则138

2.2 复合函数求导法则141

2.3 隐函数求导法则145

2.4 反函数求导法则148

2.5 由参数方程所表示的函数的求导公式152

2.6 导数计算法则小结154

习题3.1155

3 导数的简单应用158

3.1 切线与法线问题158

3.2 相关变化率问题162

4 高阶导数165

4.1 定义165

4.2 例子166

4.3 运算法则168

习题3.2174

5.1 函数的微小改变量问题176

5 微分的概念176

5.2 微分的定义和几何意义177

6 微分的基本公式及运算法则180

6.1 微分基本公式表180

6.2 微分的运算法则181

7 微分的简单应用185

7.1 近似计算185

7.2 估计误差188

8 高阶微分191

8.1 定义191

8.2 计算公式191

习题3.3193

1.1 费马(Fermat)定理195

第四章 微分学中值定理195

1 微分学中值定理195

1.2 罗尔(Rolle)定理197

1.3 拉格朗日(Lagrange)中值定理199

1.4 柯西(Cauchy)定理204

习题4.1205

2 洛必达法则207

2.1 “？”型未定式208

2.2 “？”型未定式212

2.3 其他类型的未定式215

3 泰勒(Taylor)公式217

3.1 局部的泰勒公式218

3.2 利用局部泰勒公式求未定式的值和确定无穷小量的阶227

3.3 带拉格朗日余项的泰勒公式229

习题4.2235

第五章 微分学的应用238

1 利用导数作函数的图形238

1.1 函数单调性的判别法238

1.2 函数极值的判别法242

1.3 函数的凸性与扭转点248

1.4 曲线的渐近线252

1.5 利用导数作函数的图形255

2 最大值、最小值问题257

3 曲率266

3.1 曲率的定义266

3.2 曲率的计算公式269

3.3 曲率半径、曲率圆、曲率中心272

习题5.1277

第六章 不定积分280

1 原函数与不定积分的概念280

1.1 原函数280

1.2 不定积分281

2 不定积分的线性运算283

2.1 基本积分公式表(Ⅰ)284

2.2 两个简单法则(不定积分的线性性质)285

3 换元积分法286

3.1 第一换元法(即凑微分法)287

3.2 第二换元法290

习题6.1300

4.1 分部积分法302

4 分部积分法302

4.2 基本积分公式表(Ⅱ)310

5 几类可以表为有限形式的不定积分312

5.1 有理函数的积分312

5.2 三角函数的有理式的积分320

5.3 某些根式的有理式的积分323

习题6.2328

第七章 定积分331

1 定积分的概念331

1.1 两个实例331

1.2 定积分的定义335

1.3 定积分的几何意义336

1.4 关于定积分的两点说明337

1.5 关于函数的可积性338

2 定积分的基本性质340

3 微积分基本公式348

4 微积分基本定理351

4.1 变上限的定积分352

4.2 微积分基本定理352

习题7.1356

5 定积分的换元积分法和分部积分法359

5.1 定积分的换元积分法359

5.2 定积分的分部积分法366

6 定积分的近似计算370

6.1 梯形公式371

6.2 抛物线公式372

习题7.2376

7 广义积分378

7.1 无穷积分378

7.2 瑕积分393

7.3 Γ-函数与B-函数404

习题7.3407

第八章 定积分的应用410

1 微元法的基本思想410

2 定积分的几何应用413

2.1 平面图形的面积413

2.2 已知平行截面面积，求立体的体积419

2.3 旋转体的体积420

2.4 平面曲线的弧长422

2.5 旋转体的侧面积429

习题8.1431

3 定积分的物理应用433

3.1 平面曲线弧的质心433

3.2 转动惯量436

3.3 引力440

3.4 变力所做的功442

3.5 交流电的平均功率，电流和电压的有效值445

习题8.2449

附录一 实数的几个基本定理及其应用452

1 实数的几个基本定理452

1.1 完备性定理452

1.2 确界存在定理454

1.3 单调有界数列必有极限456

1.4 区间套定理456

1.5 外尔斯特拉斯定理457

2 连续函数性质的证明459

习题461

附录二 函数可积性的讨论463

1 大和与小和463

2 函数可积的判别准则465

3 函数可积性的讨论467

附表 简单积分表471

一、简单不定积分表471

二、简单定积分表(m，n为自然数)472

习题答案与提示473