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第一部1

第一章　归纳法3

1．经验与信念4

2．暗示的接触点4

3．支持的接触点6

4．归纳的态度8

例题与评注9

1．一般化、特殊化、类推、归纳13

2．一般化13

第二章　一般化、特性化、类推13

3．特殊化14

4．类推14

5．一般化、特殊化、类推16

6．使用类推的发现18

7．类推与归纳23

例题与评注24

第三章　立体几何中的归纳39

1．多面体39

2．第一个支持点42

4．严厉的考验43

3．更多的支持点43

5．验证、再验证45

6．一个非常不同的实例46

7．类同47

8．空间的分割48

9．修饰问题49

10．一般化、特殊化、类同49

11．一个类同的问题49

12．一系列的类同问题51

13．问题愈多可能愈容易52

14．一个猜测53

15．预测和验证54

16．精益求精55

17．归纳暗示了演绎；特例暗示了一般证明56

18．更多的猜想57

例题与评注57

第四章　归纳法在数论上的应用67

1．整数直角三角形67

2．平方和70

4．仔细看一个例子72

3．四个奇平方之和72

5．列出观察结果74

6．规则是什么74

7．归纳发现的本质77

8．归纳证据的本质78

例题与评注80

第五章　归纳法的一些例子87

1．展开87

2．近似89

3．极限91

4．尝试反证它92

5．尝试证明它93

6．归纳阶段的功用96

例题与评注97

第六章　一个较一般的陈述105

1．尤拉105

2．尤拉的论文集105

3．转变成更一般的观点114

4．尤拉论文的系统大纲115

例题与评注116

1．归纳阶段125

第七章　数学归纳法125

2．证明阶段127

3．细看转换过程128

4．数学归纳法的技术129

例题与评注135

第八章　极大与极小141

1．模式141

2．例题142

3．正切水准线之模式144

4．例子146

5．部分变动模式149

6．算术及几何平均数定理及其第一个结论151

例题与评注153

第九章　物理数学167

1．光学上的解释167

2．力学上的解释172

3．重新解释175

4．白努利关於捷线之发现178

5．阿基米得关於积分学之发现181

例题与评注185

1．笛卡儿的归纳推理197

第十章　等周问题197

2．潜在的推理198

3．物理的推理199

4．雷利的归纳推理199

5．推导出结论200

6．验证结论203

7．非常接近了207

8．等周定理的三个形式208

9．应用及问题210

例题与评注211

2．用相关情况来判断221

第十一章　其他的似真推理221

1．猜测再猜测221

3．用一般情况来判断223

4．宁可猜测简单一点225

5．背景228

6．无穷尽230

7．通常的启发式的假设231

例题与评注232

最後的评注245

第二部247

第十二章 若干显著的模式249

1．结论之验证249

2．若干结论之逐项验证251

3．似不可信的结论之验证253

4．类推之推论255

5．类推之深入257

6．蒙昧的类推推论259

例题与评注259

1．检验结论267

第十三章 其他模式及其第一连锁267

2．检验可能之基础268

3．检验—抵触之猜测269

4．逻辑用语270

5．似真推论模式间的逻辑联系272

6．渐变之推论273

7．表275

8．简单模式的结合275

9．由类推之推论277

10．有条件的推论278

12．关於对立猜测281

11．关於逐步验证281

13．法官的证明283

例题与评注287

第十四章　运气，永远出现的对立猜测305

1．随机大量现象305

2．概率的概念307

3．球与球之使用310

4．概率计算统计假设313

5．单刀直入预测频率314

6．现象之解释320

7．统计假设之判断324

8．统计假设间之取舍328

9．非统计推测之判断334

10．数学猜测之判断345

例题与评注348

第十五章 概率演算与似真推理逻辑359

1．似真推理法则359

2．演绎推理之一面361

3．似真推理之对应方面363

4．概率演算之一面：困难366

5．概率演算之一面：尝试367

6．结论之检验368

7．可能基础之检验372

8．抵触推测之检验373

9．一连串检验若干结论375

10．关於间接证据（情况证据）377

例题与评注379

第十六章　发明及教学中之似真推理391

1．本章之目的391

2．一则小发现的故事391

3．解题之过程394

4．神来之笔396

5．启发式证明397

6．另一个发现的故事398

7．若干典型的指示403

8．发明中的归纳404

9．敬告教师408

例题与评注410

题解419

参考资料523