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第一章 微分方程简介1

1.1 微分方程的起源与简例1

1.1.1 微分方程的起源和发展1

1.1.2 微分方程模型简例3

1.1.3 海王星的发现7

1.2 微分方程的基本概念11

1.2.1 常微分方程和偏微分方程12

1.2.2 微分方程的阶数12

1.2.3 微分方程的线性和非线性13

1.2.4 微分方程的解13

习题1.117

第二章 一阶微分方程的基本解法18

2.1 变量分离方程与不定积分法18

2.1.1 变量分离方程18

2.1.2 马尔萨斯与Logistic人口模型实例分析21

习题2.123

2.2 初等变换法24

2.2.1 齐次方程25

2.2.2 探照灯反射镜面模型实例分析30

习题2.235

2.3 线性方程与常数变易法35

2.3.1 一阶线性微分方程35

2.3.2 电路模型实例分析39

2.3.3 伯努利方程40

2.3.4 Logistic人口模型实例分析42

习题2.344

2.4 黎卡提方程的几种解法45

2.4.1 特解变换法46

2.4.2 图解法48

2.4.3 近似解52

习题2.454

2.5 恰当微分方程与积分因子法54

2.5.1 恰当微分方程的定义与判定准则55

2.5.2 静电场的复势58

2.5.3 积分因子法60

习题2.564

2.6 一阶隐方程与参数表示65

2.6.1 可解出函数或自变量的方程66

2.6.2 克莱洛方程与几何问题68

2.6.3 不含函数或自变量的方程70

习题2.671

第三章 一阶微分方程解的存在唯一性定理72

3.1 解的存在唯一性定理72

3.1.1 存在唯一性定理73

3.1.2 近似计算和误差估计81

习题3.182

3.2 解的延拓82

3.2.1 饱和解及饱和区间83

3.2.2 局部李普希兹条件83

习题3.287

3.3 解对初值的连续性和可微性定理87

3.3.1 解对初值的连续依赖性88

3.3.2 解对初值的可微性定理91

习题3.394

第四章 高阶微分方程95

4.1 高阶方程几种特殊解法95

4.1.1 方程不显含未知函数95

4.1.2 不显含自变量的方程96

4.1.3 恰当导数方程99

习题4.1100

4.2 高阶齐线性微分方程100

4.2.1 齐线性微分方程的一般理论101

4.2.2 刘维尔公式及应用106

习题4.2111

4.3 常系数齐线性微分方程的解法111

4.3.1 复值函数与复值解111

4.3.2 常系数齐线性微分方程与待定指数法113

4.3.3 欧拉方程与待定指数法117

习题4.3119

4.4 贝塞尔方程与级数解119

4.4.1 幂级数解法120

4.4.2 二阶线性方程的幂级数解法121

4.4.3 贝塞尔方程122

习题4.4126

4.5 非齐线性微分方程126

4.5.1 非齐线性微分方程基本理论126

4.5.2 非齐线性微分方程的常数变易法127

4.5.3 非齐线性方程比较系数法130

4.5.4 拉普拉斯变换法与柯西问题135

习题4.5141

4.6 应用案例141

4.6.1 质点振动141

4.6.2 第二宇宙速度计算148

4.6.3 二阶电路在冲激函数激励下的响应150

习题4.6152

第五章 微分方程组154

5.1 线性微分方程组的基础知识155

5.1.1 记号和定义155

5.1.2 存在唯一性定理161

习题5.1164

5.2 齐线性微分方程组的一般理论165

5.2.1 解的性质165

5.2.2 解的结构165

习题5.2171

5.3 常系数齐线性微分方程组171

5.3.1 方程组的消元法171

5.3.2 矩阵指数法174

5.3.3 基解矩阵的计算公式178

习题5.3192

5.4 非齐线性微分方程组192

5.4.1 基本性质及其解的结构192

5.4.2 常数变易公式193

5.4.3 拉普拉斯变换的应用198

习题5.4202

5.5 平面系统奇点202

5.5.1 线性系统的奇点202

5.5.2 非线性系统的奇点211

5.5.3 范德坡方程及其奇点212

习题5.5214

5.6 生物模型应用215

5.6.1 捕食与被捕食模型215

5.6.2 传染病模型225

5.6.3 诊断糖尿病模型232

第六章 稳定性与极限环237

6.1 稳定性与李雅普诺夫函数237

6.1.1 稳定性238

6.1.2 按拟线性决定稳定性240

6.1.3 李雅普诺夫第二方法242

习题6.1248

6.2 极限环249

习题6.2253

6.3 Floquet理论253

6.3.1 一阶方程的Floquet理论253

6.3.2 方程组的Floquet理论255

6.3.3 可约性理论257

习题6.3259

第七章 偏微分方程260

7.1 偏微分方程简介260

7.1.1 数理方程中常用的算子260

7.1.2 偏微分方程的物理分类262

7.1.3 两个自变数的方程的数学分类263

7.1.4 定解条件267

7.2 数学物理方程导出269

7.2.1 建立数学物理方程的方法269

7.2.2 均匀弦的微小振动269

7.2.3 扩散方程271

7.2.4 质量守恒与连续性方程274

7.3 一阶线性偏微分方程与特征线方法275

7.3.1 一阶线性方程特征线方法275

7.3.2 一阶拟线性方程首次积分方法278

习题7.3280

7.4 齐次方程的分离变数法与达朗贝尔公式280

7.4.1 齐次方程的分离变量法280

7.4.2 达朗贝尔公式284

习题7.4288

7.5 傅里叶变换法与格林公式289

7.5.1 热传导方程与傅里叶变换法289

7.5.2 位势方程与格林函数291

第八章 非线性动力系统294

8.1 中心流形294

8.1.1 中心流形的基本理论294

8.1.2 含系统参数的中心流形298

8.1.3 中心流形的性质304

8.2 规范型305

8.2.1 规范化的基本理论305

8.2.2 范式型计算的例题307

8.2.3 高维系统的规范型310

8.3 闭轨与庞加莱映射311

8.3.1 基本概念311

8.3.2 庞加莱映射314

8.4 哈密顿系统317

8.4.1 完全可积性318

8.4.2 哈密顿系统分析320

8.5 局部分支326

8.5.1 分支概念简介326

8.5.2 鞍结型分支328

8.5.3 跨临界型分支331

8.5.4 叉型分支333

8.6 霍普夫分支336

8.6.1 霍普夫分支基本理论336

8.6.2 霍普夫分支的计算342

8.6.3 霍普夫分支应用例子344

第九章 时滞微分方程350

9.1 时滞微分方程模型简介350

9.2 时滞微分方程的基本概念353

9.3 齐次初值问题与分步法358

9.3.1 单滞量的分步法359

9.3.2 多滞量的分步法361

9.3.3 若干附注362

9.4 线性自治时滞系统理论364

9.4.1 线性自治时滞方程谱及C空间的分解364

9.4.2 线性自治DDE的稳定性367

9.4.3 全时滞稳定368

9.4.4 全参量分析问题370

9.5 指数多项式方程根的分布分析373

9.5.1 系数不依赖于τ的情形373

9.5.2 系数依赖于τ的情形375

9.5.3 高次指数多项式方程根的分布分析380

9.6 时滞微分方程的霍普夫分支387

9.6.1 时滞微分方程霍普夫分支理论387

9.6.2 霍普夫分支性质的计算公式388

9.7 霍普夫分支应用实例395

9.7.1 Wright方程395

9.7.2 具有时滞反馈的范德坡振子的分支现象400

9.8 RFDE稳定性的一般理论406

9.8.1 概述406

9.8.2 李雅普诺夫泛函方法407

9.8.3 Razumikhin型定理412

附录419

附录Ⅰ Matlab求解微分方程与绘图419

附录Ⅱ 重要术语的汉英对照444

习题答案与提示449

参考文献464