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专题1 极限与连续1

1.1 基本概念与内容提要1

1.1.1 一元函数基本概念1

1.1.2 数列的极限1

1.1.3 函数的极限1

1.1.4 证明数列或函数极限存在的方法2

1.1.5 无穷小量2

1.1.6 无穷大量3

1.1.7 求数列或函数的极限的方法3

1.1.8 函数的连续性3

1.2 竞赛题与精选题解析4

1.2.1 求函数的表达式（例1.1 —1.4 ）4

1.2.2 利用四则运算求极限（例1.5 —1.1 8）6

1.2.3 利用夹逼准则与单调有界准则求极限（例1.1 9—1.2 8）13

1.2.4 利用两个重要极限求极限（例1.2 9—1.3 2）19

1.2.5 利用等价无穷小因子代换求极限（例1.3 3—1.3 8）20

1.2.6 无穷小比较与无穷大比较（例1.3 9—1.4 2）22

1.2.7 连续性与间断点（例1.4 3—1.4 9）23

1.2.8 利用介值定理的证明题（例1.5 0—1.5 4）25

练习题一28

专题2 一元函数微分学30

2.1 基本概念与内容提要30

2.1.1 导数的定义30

2.1.2 左、右导数的定义30

2.1.3 微分概念30

2.1.4 基本初等函数的导数公式31

2.1.5 求导法则31

2.1.6 高阶导数31

2.1.7 微分中值定理32

2.1.8 泰勒公式与马克劳林公式32

2.1.9 洛必达法则33

2.1.10 导数在几何上的应用34

2.2 竞赛题与精选题解析35

2.2.1 利用导数的定义解题（例2.1 —2.7 ）35

2.2.2 利用求导法则解题（例2.8 —2.1 5）38

2.2.3 求高阶导数（例2.1 6—2.2 9）42

2.2.4 与微分中值定理有关的证明题（例2.3 0—2.4 9）47

2.2.5 马克劳林公式与泰勒公式的应用（例2.5 0—2.7 0）58

2.2.6 利用洛必达法则求极限（例2.7 1—2.8 1）72

2.2.7 导数在几何上的应用（例2.8 2—2.1 01）76

2.2.8 不等式的证明（例2.1 02—2.1 13）86

练习题二93

专题3 一元函数积分学96

3.1 基本概念与内容提要96

3.1.1 不定积分基本概念96

3.1.2 基本积分公式96

3.1.3 不定积分的计算97

3.1.4 定积分基本概念98

3.1.5 定积分中值定理98

3.1.6 变限的定积分98

3.1.7 定积分的计算99

3.1.8 奇偶函数与周期函数定积分的性质99

3.1.9 定积分在几何与物理上的应用99

3.1.10 反常积分101

3.2 竞赛题与精选题解析102

3.2.1 求原函数（例3.1 —3.4 ）102

3.2.2 求不定积分（例3.5 —3.1 9）104

3.2.3 利用定积分的定义求极限（例3.2 0—3.2 6）108

3.2.4 应用积分中值定理解题（例3.2 7—3.3 2）112

3.2.5 变限的定积分的应用（例3.3 3—3.4 8）115

3.2.6 定积分的计算（例3.4 9—3.6 7）123

3.2.7 定积分在几何与物理上的应用（例3.6 8—3.7 9）129

3.2.8 积分不等式的证明（例3.8 0—3.1 07）137

3.2.9 积分等式的证明（例3.1 08—3.1 11）155

3.2.10 反常积分（例3.1 12—3.1 20）158

练习题三164

专题4 多元函数微分学166

4.1 基本概念与内容提要166

4.1.1 二元函数的极限与连续性166

4.1.2 偏导数与全微分166

4.1.3 多元复合函数与隐函数的偏导数167

4.1.4 高阶偏导数169

4.1.5 二元函数的极值169

4.1.6 条件极值169

4.1.7 多元函数的最值171

4.2 竞赛题与精选题解析171

4.2.1 求二元函数的极限（例4.1 —4.2 ）171

4.2.2 二元函数的连续性、可偏导性与可微性（例4.3 —4.8 ）172

4.2.3 求多元复合函数与隐函数的偏导数（例4.9 —4.2 0）174

4.2.4 求高阶偏导数（例4.2 1—4.3 0）179

4.2.5 求二元函数的极值（例4.3 1—4.3 5）185

4.2.6 求条件极值（例4.3 6—4.3 9）189

4.2.7 求多元函数在有界闭域上的最值（例4.4 0—4.4 1）191

练习题四192

专题5 多元函数积分学195

5.1 基本概念与内容提要195

5.1.1 二重积分基本概念195

5.1.2 二重积分的计算196

5.1.3 交换二次积分的次序197

5.1.4 三重积分基本概念与计算197

5.1.5 重积分的应用198

5.1.6 曲线积分基本概念与计算199

5.1.7 格林公式201

5.1.8 曲面积分基本概念与计算202

5.1.9 斯托克斯公式204

5.1.10 高斯公式205

5.2 竞赛题与精选题解析205

5.2.1 二重积分的计算（例5.1 —5.1 6）205

5.2.2 交换二次积分的次序（例5.1 7—5.2 6）213

5.2.3 三重积分的计算（例5.2 7—5.3 1）217

5.2.4 与重积分有关的不等式的证明（例5.3 2—5.3 8）220

5.2.5 曲线积分的计算（例5.3 9—5.4 4）225

5.2.6 应用格林公式解题（例5.4 5—5.5 5）229

5.2.7 曲面积分的计算（例5.5 6—5.5 8）236

5.2.8 应用斯托克斯公式解题（例5.5 9—5.6 0）238

5.2.9 应用高斯公式解题（例5.6 1—5.6 7）240

5.2.10 多元函数积分学的应用题（例5.6 8—5.7 7）245

练习题五250

专题6 空间解析几何254

6.1 基本概念与内容提要254

6.1.1 向量的基本概念与向量的运算254

6.1.2 空间的平面255

6.1.3 空间的直线255

6.1.4 空间的曲面256

6.1.5 空间的曲线257

6.2 竞赛题与精选题解析258

6.2.1 向量的运算（例6.1 —6.5 ）258

6.2.2 空间平面的方程（例6.6 —6.9 ）259

6.2.3 空间直线的方程（例6.1 0—6.1 5）261

6.2.4 空间曲面的方程与空间曲面的切平面（例6.1 6—6.2 6）262

6.2.5 空间曲线的方程与空间曲线的切线（例6.2 7—6.3 2）268

练习题六272

专题7 级数274

7.1 基本概念与内容提要274

7.1.1 数项级数的主要性质274

7.1.2 正项级数敛散性判别法274

7.1.3 任意项级数敛散性判别法275

7.1.4 幂级数的收敛半径、收敛域与和函数275

7.1.5 初等函数关于x的幂级数展开式275

7.1.6 傅氏级数276

7.2 竞赛题与精选题解析277

7.2.1 判别正项级数的敛散性（例7.1 —7.1 6）277

7.2.2 判别任意项级数的敛散性（例7.1 7—7.2 8）288

7.2.3 求幂级数的收敛域与和函数（例7.2 9—7.4 6）294

7.2.4 求数项级数的和（例7.4 7—7.5 4）305

7.2.5 求初等函数关于x的幂级数展开式（例7.5 5—7.6 1）309

7.2.6 求函数的傅氏级数展开式（例7.6 2）312

练习题七313

专题8 微分方程315

8.1 基本概念与内容提要315

8.1.1 微分方程的基本概念315

8.1.2 一阶微分方程315

8.1.3 二阶微分方程316

8.1.4 微分方程的应用318

8.2 竞赛题与精选题解析318

8.2.1 微分方程的特解（例8.1 —8.3 ）318

8.2.2 变量可分离方程的应用题（例8.4 —8.8 ）319

8.2.3 齐次微分方程的应用题（例8.9 ）322

8.2.4 一阶线性微分方程的应用题（例8.1 0—8.1 2）323

8.2.5 求解二阶线性微分方程（例8.1 3—8.2 0）325

8.2.6 求解可化为二阶线性微分方程的微分方程（例8.2 1—8.2 2）329

练习题八331

练习题答案与提示332