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第1章　集合论1

1.1　集合与映射1

1.1.1 集合1

1.1.2 映射1

1.2　关系2

1.2.1 等价关系2

1.2.2　偏序集3

1.2.3 定向集5

1.3　选择公理5

1.3.1　任意笛氏积5

1.3.2　选择公理6

1.4 良序集、超限归纳原理7

1.5　基数与序数7

1.5.1 可数集7

1.5.2　基数8

1.5.3　基数的代数运算8

1.5.4　序数9

第2章　拓扑空间11

2.1　拓扑空间的概念11

2.1.1　拓扑11

2.1.2 闭集族12

2.1.3　邻域系13

2.1.4　度量诱导的拓扑13

2.1.5 由度量诱导的拓扑15

2.2　拓扑基与子基16

2.2.1　拓扑基16

2.2.2　拓扑子基20

2.2.3　可数公理20

2.3　闭包、内部和边界21

2.4　拓扑空间的其他定义方法25

第3章　连续映射31

3.1　连续映射与同胚31

3.1.1　连续映射31

3.1.2 同胚33

3.1.3　焊接引理33

3.2 由函数诱导的拓扑、任意积拓扑34

3.2.1　函数诱导拓扑34

3.2.2 任意多个拓扑空间的积空间36

3.2.3　R？上的一致度量与一致拓扑37

3.3　收敛性37

3.3.1　序列的收敛性37

3.3.2 网的收敛性40

3.3.3　收敛空间43

3.4　商拓扑44

3.4.1 商拓扑与商映射44

3.4.2 商空间的例子46

第4章　连通性及路连通性51

4.1　连通性51

4.1.1　连通的概念与基本性质51

4.1.2　任意积的连通性53

4.1.3 连通性的应用54

4.1.4　连通分支与局部连通空间55

4.2　路连通性57

4.2.1　路连通空间57

4.2.2　局部路连通空间59

4.2.3　路连通分支60

第5章　分离公理64

5.1　用邻域分离64

5.2　用连续函数分离66

5.3　Tietze扩张定理68

5.4　Appert空间69

第6章　紧致性74

6.1 紧致空间、Lindelof空间与可数紧致空间74

6.1.1 紧致空间74

6.1.2　Lindelof空间77

6.1.3　可数紧致77

6.1.4　吉洪诺夫定理78

6.2　紧致性与分离公理79

6.3　局部紧致性与分离公理81

6.4　序列紧致与聚点紧致83

6.4.1　序列紧致性83

6.4.2　聚点紧致性85

6.5　一点紧致化87

第7章　仿紧空间91

7.1　局部有限性91

7.2　仿紧空间93

7.3　单位分解定理96

7.4　流形的嵌入定理98

第8章　度量空间100

8.1　度量化100

8.2　Urysohn度量化定理101

8.3　Nagata-Smirnov度量化102

8.4　Smirnov度量化104

8.5　度量空间的完备性105

第9章　映射空间109

9.1　一致拓扑109

9.2　连续映射和有界映射110

9.3　等度连续112

9.4　点开拓扑和紧致收敛拓扑115

9.5　Ascoli定理118

第10章　基本群122

10.1　映射同伦122

10.2　同伦等价124

10.3　道路同伦128

10.4　基本群的性质132

10.5　球面的基本群135

10.6　圆周的基本群136

10.7　基本群的应用139

第11章　覆盖空间142

11.1　覆盖空间的基本性质142

11.2　道路提升定理144

11.3　同伦提升定理146

11.4　映射的提升148

11.5　覆盖空间的分类151

11.6　覆盖空间的自同构群153

11.7　轨道空间157

11.8　覆盖空间的存在性161

部分习题解答与提示170

参考文献184