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目录1

第1章 简介1

1.1 什么是3D数学1

1.2 为什么选择本书1

1.3 阅读本书需要的基础知识2

1.4 概览3

第2章 笛卡尔坐标系统4

2.1 1D数学5

2.2.1 笛卡尔坐标系的实例：假想中的笛卡尔城7

2.2 2D笛卡尔数学7

2.2.2 任意2D坐标系8

2.2.3 在2D笛卡尔坐标系中定位点10

2.3 从2D到3D11

2.3.1 第三个维度，第三个轴11

2.3.2 在3D笛卡尔坐标系中定位点12

2.3.3 左手坐标系与右手坐标系13

2.3.4 本书的重要约定15

2.4 练习16

3.1 为什么要使用多坐标系17

第3章 多坐标系17

3.2 一些有用的坐标系18

3.2.1 世界坐标系19

3.2.2 物体坐标系19

3.2.3 摄像机坐标系20

3.2.4 惯性坐标系21

3.3 嵌套式坐标系22

3.4 描述坐标系23

3.5 坐标系转换23

3.6 练习25

第4章 向量26

4.1 向量——数学定义26

4.1.1 向量与标量27

4.1.2 向量的维度27

4.1.3 记法27

4.2 向量——几何定义28

4.2.1 向量的形式28

4.2.2 位置与位移29

4.2.3 向量的表达29

4.2.4 将向量表示为位移序列30

4.3.1 相对位置31

4.3.2 点和向量的关系31

4.3 向量与点31

4.4 练习32

第5章 向量运算34

5.1 线性代数与几何34

5.2 符号约定35

5.3 零向量35

5.4.1 运算法则36

5.4 负向量36

5.4.2 几何解释37

5.5 向量大小（长度或模）37

5.5.1 运算法则38

5.5.2 几何解释38

5.6 标量与向量的乘法39

5.6.1 运算法则39

5.6.2 几何解释40

5.7.1 运算法则41

5.7.2 几何解释41

5.7 标准化向量41

5.8 向量的加法和减法42

5.8.1 运算法则42

5.8.2 几何解释43

5.8.3 一个点到另一个点的向量45

5.9 距离公式46

5.10 向量点乘47

5.10.1 运算法则47

5.10.2 几何解释48

5.10.3 向量投影49

5.11 向量叉乘50

5.11.1 运算法则50

5.11.2 几何解释51

5.12 线性代数公式53

5.13 练习54

第6章 3D向量类57

6.1 类接口57

6.2 Vector3类58

6.3 设计决策60

6.3.2 运算符重载61

6.3.3 仅提供最重要的操作61

6.3.1 float与double61

6.3.4 不要重载过多的运算符62

6.3.5 使用const成员函数62

6.3.6 使用const引用参数62

6.3.7 成员函数与非成员函数63

6.3.8 无缺省初始化64

6.3.9 不要使用虚函数64

6.3.10 不要使用信息屏蔽64

6.3.13 关于优化65

6.3.12 不存在“Point3”类65

6.3.11 全局常量：零65

第7章 矩阵69

7.1 矩阵——数学定义69

7.1.1 矩阵的维度和记法69

7.1.2 方阵70

7.1.3 向量作为矩阵使用71

7.1.4 转置71

7.1.5 标量和矩阵的乘法72

7.1.6 矩阵乘法72

7.1.7 向量与矩阵的乘法75

7.1.8 行向量与列向量76

7.2 矩阵——几何解释77

7.2.1 矩阵是怎样变换向量的77

7.2.2 矩阵的形式79

7.2.3 总结82

7.3 练习83

第8章 矩阵和线性变换85

8.1 变换物体与变换坐标系85

8.2.1 2D中的旋转88

8.2 旋转88

8.2.2 3D中绕坐标轴的旋转89

8.2.3 3D中绕任意轴的旋转91

8.3 缩放94

8.3.1 沿坐标轴的缩放94

8.3.2 沿任意方向缩放96

8.4 正交投影99

8.4.1 向坐标轴或平面上投影99

8.4.2 向任意直线或平面投影100

8.5 镜像101

8.6 切变102

8.7 变换的组合103

8.8 变换分类104

8.8.1 线性变换105

8.8.2 仿射变换105

8.8.3 可逆变换106

8.8.4 等角变换106

8.8.5 正交变换106

8.8.6 刚体变换106

8.8.7 变换类型小结107

8.9 练习107

9.1.1 线性运算法则109

第9章 矩阵的更多知识109

9.1 矩阵的行列式109

9.1.2 几何解释113

9.2 矩阵的逆114

9.2.1 运算法则114

9.2.2 几何解释115

9.3 正交矩阵116

9.3.1 运算法则116

9.3.2 几何解释116

9.3.3 矩阵正交化118

9.4 4×4齐次矩阵119

9.4.1 4D齐次空间119

9.4.2 4×4平移矩阵120

9.4.3 一般仿射变换123

9.4.4 透视投影124

9.4.5 小孔成像125

9.4.6 使用4×4矩阵进行透视投影127

9.5 练习128

10.1 什么是方位？130

第10章 3D中的方位与角位移130

10.2 矩阵形式132

10.2.1 用哪个矩阵132

10.2.2 矩阵形式的优点133

10.2.3 矩阵形式的缺点133

10.2.4 小结134

10.3 欧拉角135

10.3.1 什么是欧拉角135

10.3.2 关于欧拉角的其他约定137

10.3.3 欧拉角的优点137

10.3.4 欧拉角的缺点138

10.3.5 总结140

10.4 四元数141

10.4.1 四元数记法141

10.4.2 四元数与复数142

10.4.3 四元数和轴—角对144

10.4.4 负四元数144

10.4.5 单位四元数145

10.4.6 四元数的模145

10.4.8 四元数乘法（叉乘）146

10.4.7 四元数共轭和逆146

10.4.9 四元数“差”150

10.4.10 四元数点乘151

10.4.11 四元数的对数、指数和标量乘运算151

10.4.12 四元数求幂152

10.4.13 四元数插值——“slerp”154

10.4.14 四元数样条——“squad”157

10.4.15 四元数的优点和缺点158

10.5 各方法比较159

10.6.1 从欧拉角转换到矩阵160

10.6 表达形式之间的转换160

10.6.2 从矩阵转换到欧拉角162

10.6.3 从四元数转换到矩阵165

10.6.4 从矩阵转换到四元数167

10.6.5 从欧拉角转换到四元数170

10.6.6 从四元数转换到欧拉角171

10.7 练习173

第11章 C＋＋实现175

11.1 概述175

11.2 EulerAngles类178

11.3 Quaternion类186

11.4 RotationMatrix类198

11.5 Matrix4×3类204

第12章 几何图元225

12.1 表示方法225

12.1.1 隐式表示225

12.1.2 参数形式表示226

12.1.3 “直接”形式表示226

12.1.4 自由度227

12.2 直线和射线227

12.2.2 射线的参数形式228

12.2.1 两点表示法228

12.2.3 特殊的2D直线表示方法229

12.2.4 在不同表示方法间转换230

12.3 球和圆232

12.4 矩形边界框233

12.4.1 AABB的表达方法234

12.4.2 计算AABB235

12.4.3 AABB与边界球236

12.4.4 变换AABB236

12.5.1 平面方程——隐式定义238

12.5 平面238

12.5.2 用三个点定义239

12.5.3 多于三个点的“最佳”平面240

12.5.4 点到平面的距离242

12.6 三角形242

12.6.1 基本性质242

12.6.2 面积244

12.6.3 重心坐标空间246

12.6.4 特殊点252

12.7.1 简单多边形与复杂多边形255

12.7 多边形255

12.7.2 自相交多边形256

12.7.3 凸多边形与凹多边形256

12.7.4 三角分解和扇形分解260

12.8 练习261

第13章 几何检测262

13.1 2D隐式直线上的最近点262

13.2 参数射线上的最近点263

13.3 平面上的最近点264

13.4 圆或球上的最近点264

13.5 AABB上的最近点265

13.6 相交性检测266

13.7 在2D中两条隐式直线的相交性检测266

13.8 在3D中两条射线的相交性检测267

13.9 射线和平面的相交性检测269

13.10 AABB和平面的相交性检测270

13.11 三个平面间的相交性检测270

13.12 射线和圆／球的相交性检测271

13.13 两个圆／球的相交性检测273

13.14 球和AABB的相交性检测275

13.15 球和平面的相交性检测276

13.16 射线和三角形的相交性检测277

13.18 两个AABB的相交性检测281

13.17 射线和AABB的相交性检测281

13.19 其他种类的检测283

13.20 AABB3类283

13.21 练习298

第14章 三角网格300

14.1 表示网格301

14.1.1 索引三角网格301

14.1.3 针对渲染的特殊表达302

14.1.2 高级技术302

14.1.4 顶点缓存303

14.1.5 三角带303

14.1.6 三角扇306

14.2 额外信息307

14.2.1 纹理映射坐标307

14.2.2 表面法向量307

14.2.3 光照值308

14.4 三角网格操作309

14.4.1 逐片操作309

14.3 拓扑与一致性309

14.4.2 焊接顶点310

14.4.3 面拆分312

14.4.4 边缩坍312

14.4.5 网格消减313

14.5 C＋＋三角网格类313

第15章 图形数学319

15.1 图形管道概述320

15.2.1 指定输出窗口322

15.2 设定视图参数322

15.2.2 像素纵横比323

15.2.3 视锥324

15.2.4 视场与缩放324

15.3 坐标空间326

15.3.1 模型与世界空间326

15.3.2 摄像机空间326

15.3.3 裁剪空间327

15.3.4 屏幕空间329

15.4 光照与雾化330

15.4.1 色彩的数学330

15.4.2 光源331

15.4.3 标准光照方程——概述333

15.4.4 镜面反射分量333

15.4.5 漫反射分量336

15.4.6 环境光分量337

15.4.7 光的衰减338

15.4.8 光照方程——合成338

15.4.9 雾化339

15.4.10 flat着色与Gourand着色341

15.5 缓存342

15.6 纹理映射343

15.7 几何体的生成与提交344

15.7.1 LOD选择与渐进式生成344

15.7.2 向API投送几何体345

15.8 变换和光照347

15.8.1 变换到裁剪空间347

15.8.2 顶点光照348

15.9 背面剔除与裁剪349

15.9.1 背面剔除349

15.9.2 裁剪350

15.10 光栅化352

第16章 可见性检测353

16.1 包围体检测354

16.1.1 基于视锥的检测354

16.1.2 遮断检测357

16.2 空间分割技术357

16.3 网格系统358

16.4 四叉树和八叉树360

16.5 BSP树364

16.5.2 任意分割面366

16.5.1 经典BSP366

16.6 遮断剔除367

16.6.1 潜在可见集367

16.6.2 Portal技术368

第17章 后记372

附录A 简单的数学概念373

A.1 求和记法373

A.2 角度，度和弧度373

A.3 三角函数374

A.4 三角公式377

附录B 参考文献379