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预备知识：标准的离散系统1

引言1

结构单元和结构系统3

结构的组装和分析6

边界条件8

电流和流体网络9

一般流程10

标准离散系统12

坐标变换13

参考文献14

弹性问题的直接解法16

引言16

有限单元特征的直接表达17

对整个区域进行规范化——不采用内部节点力23

基于最小势能原理的位移方法25

收敛准则27

离散误差和收敛速度28

单元之间的不连续位移函数——非协调单元和拼片试验29

位移列式中应变能的下限性质30

直接求最小值31

一个例子31

小结33

参考文献34

有限元的基本概念：Galerkin（伽辽金）加权残值法和变分方法36

引言36

与微分方程等效的积分或弱形式表达38

近似积分公式：加权残值Galerkin方法41

固体和流体平衡方程“弱形式”的虚功原理47

针对变量的部分离散49

收敛性51

什么是变分原理53

“自然”变分原理以及与控制微分方程的关系55

针对线性、自伴随微分方程的自然变分原理59

最大、最小和鞍点62

带约束的变分原理：拉格朗日乘子和自伴随函数63

约束变分原理：罚函数法和最小二乘法68

小结：有限差分和边界元方法73

参考文献75

平面应力和平面应变78

引言78

单元特征78

算例——计算性能的评估87

一些实际应用89

不可压缩材料的平面应变特殊处理97

小结97

参考文献97

轴对称应力分析98

引言98

单元特征99

一些典型算例105

早期的实际应用108

非对称性载荷110

轴对称——平面应变和平面应力110

参考文献111

三维应力分析112

引言112

四面体单元的特征113

8节点复合单元117

算例和结束语118

参考文献121

稳态场问题——热传导、电磁势、流体等122

引言122

一般的准调和方程123

有限元离散125

一些特殊的处理126

算例——精度估计127

一些实际应用130

小结140

参考文献140

标准单元和升阶谱单元的形状函数——C0连续的单元族143

引言143

标准形状函数和升阶谱形状函数的概念144

矩形单元概论146

完全多项式149

矩形单元——拉格朗日族150

矩形单元——Serendipity族151

装配前消去内部变量——子结构155

三角形单元族156

线单元160

六面体单元——拉格朗日族160

六面体单元——Serendipity族161

四面体单元162

其他的简单三维单元164

一维升阶谱多项式165

二维矩形和三维六面体升阶谱单元168

三角形和四面体升阶谱单元169

全局和局部的有限元逼近170

升阶谱单元对条件数的改善171

小结171

参考文献172

映射单元和数值积分——“无限”和“奇异”单元173

引言173

坐标变换中的“形状函数”174

单元的几何一致性177

曲边单元中未知函数的变化连续性要求178

单元刚度矩阵的计算（ξ,ζ坐标下的变换）179

单元刚度矩阵、面坐标和体坐标182

曲线坐标下单元的收敛184

数值积分：一维187

数值积分：矩形区间（二维）或正棱柱区间（三维）190

数值积分：三角形或四面体区域191

数值积分的阶次193

通过映射和混合函数构造有限元网格196

无限区域和无限单元198

断裂问题中的奇异单元203

数值积分单元的计算优势204

二维应力分析的一些实例205

三维应力问题207

对称性及重复性210

参考文献211

拼片试验、缩减积分和非协调单元215

引言215

收敛性要求216

简单的拼片试验（试验A和B）：收敛的必要条件218

广义拼片试验（试验C）及单个单元测试220

数值拼片试验的通用性221

高阶拼片试验222

基于标准及缩减积分的平面弹性单元的拼片试验223

拼片试验在非协调单元中的使用228

满足拼片试验的非协调形状函数的构造230

弱拼片试验算例232

高阶拼片试验——计算稳健性的评估233

小结235

参考文献236

混合列式和约束方程——全域法238

引言238

混合形式的离散——一般过程240

混合列式的稳定性：分片试验242

弹性问题中的二场混合列式245

弹性问题中的三场混合列式251

混合近似的迭代法求解258

直接约束的余能形式260

小结：混合列式或单元稳健性试验263

参考文献264

不可压缩材料、混合法及其他求解方法266

引言266

应力和应变偏量、压力和体积变化266

二场不可压缩弹性问题（u-p形式）267

近不可压缩弹性体的三场形式（u-p-ε）273

缩简和选择积分及其与罚混合形式的等价性275

混合问题的简单迭代求解过程：Uzawa法280

针对未通过不可压缩拼片试验的混合型单元的稳定方法282

小结297

参考文献298

混合列式及约束——非完整（杂交）场方法、边界／Trefftz方法301

引言301

两个（或多个）具有不可约形式变量区域之间的界面力301

两个或多个具有混合变量区域之间的界面力303

界面的位移“框架”304

基于位移“框架”，采用边界型解答进行连接309

带有常规单元的子区域及整体函数313

拉格朗日变量或非连续的Galerkin方法）314

小结314

参考文献315

误差、修复方法和误差估计318

误差的定义318

超收敛和最佳取样点321

计算结果的梯度和应力的修复326

超级收敛的拼片修复法——SPR327

通过拼片平衡的修复——REP332

修复的误差估计334

另一类误差估计方法——基于残差的方法335

误差估计的渐近性和稳健性——Babuska拼片试验340

何种误差值得关注345

参考文献346

自适应有限单元细化349

引言349

一些自适应h－细化方法的例子351

p－细化和hp－细化方法362

小结368

参考文献368

基于点的近似：无网格Galerkin方法以及其他无网格方法371

引言371

函数的逼近373

移动最小二乘近似——逼近中连续性的修复378

移动最小二乘的升阶谱展开382

配点法——有限点方法384

Galerkin加权和有限体积方法389

采用标准有限单元的升阶谱函数和特殊的函数392

小结398

参考文献399

时间维——场的半离散化、动力学问题和解析求解402

引言402

基于空间有限单元处理时间相关问题的直接列式402

一般分类410

自由响应——二阶问题和动力振动的特征值411

自由响应——一阶问题的特征值和热传导等416

自由响应——带阻尼的动力学特征值416

受迫周期响应417

瞬态响应的分析418

对称性和重复性422

参考文献422

时间维问题的离散近似425

引言425

一阶方程的简单时间步算法426

一阶和二阶方程的一般单步算法438

多步递推算法451

关于数值方法一般性能的评论458

时间不连续的Galerkin近似462

小结464

参考文献464

耦合系统468

耦合问题的定义和分类468

流－固相互作用（第一类问题）470

土壤－孔隙流体的相互作用（第二类问题）482

分区的单相系统——隐式－显式分区（第一类问题）489

交替求解过程491

参考文献495

有限元分析的计算机实现499

引言499

数据输入模块500

数组的内存管理509

求解模块——命令程序语言511

有限元求解模块的计算518

联立线性方程组的求解529

FEAPpv程序的扩展和修改536

参考文献537

附录A矩阵代数538

附录B弹性问题近似分析中的张量标记符号544

附录C基于位移分析的基本方程（第2章）552

附录D三角形的一些积分公式553

附录E四面体的一些积分公式554

附录F矢量代数基础555

附录G二维或三维空间的分部积分（Green定理）559

附录H节点处的求解精度561

附录Ⅰ矩阵的对角化或集中564

中文索引570

英文索引611