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第一章 数学准备1

1.引言1

2.微分几何基础1

（a）正切矢量2

（b）一次型（或余切矢量，或协变矢量）4

（c）张量和张量积6

3.型的微积分9

（a）外部微分10

（b）李括号和李微分12

4.协变微分15

（a）平行位移和短程线18

5.曲率型和嘉当结构方程19

（a）扭率为零时的循环恒等式和比安基恒等式24

6.度规和由之导出的联络；黎曼几何和爱因斯坦场方程26

（a）由度规导出的联络27

（b）克里斯托费尔联络对于黎曼和里奇张量的一些推论29

（c）爱因斯坦张量30

（d）外尔张量31

（e）作为四维流型的时空；标记问题和爱因斯坦场方程31

7.四次形式33

（a）四次表示33

（b）方向导数和里奇旋转系数35

（c）转换关系和结构常数37

（d）里奇和比安基恒等式37

（e）四次形式的推广38

8.纽曼－彭罗斯形式39

（a）零基和自旋系数39

（b）外尔、里奇、黎曼张量的表示40

（c）转换关系和结构常数43

（d）里奇恒等式和消元关系44

（e）比安基恒等式46

（f）麦克斯韦方程49

（9）四次变换51

9.光学标量，彼得罗夫分类，哥尔德伯－萨赫定理54

（a）光学标量55

（b）彼得罗夫分类57

（c）哥尔德伯－萨赫定理60

文献注释62

第二章 充分广义的时空65

10.引言65

11.定常态轴对称时空和惯性系的拖曳65

（a）惯性系的拖曳68

12.所需广义的时空69

13.结构方程和黎曼张量的分量72

14.四次标架和旋转系数80

15.麦克斯韦方程82

文献注释83

第三章 史瓦西时空85

16.引言85

17.史瓦西度规85

（a）方程的解88

（b）克鲁斯卡尔坐标90

（c）变换到史瓦西坐标92

18.史瓦西度规的另一种导出93

19.史瓦西时空的短程线：类时短程线95

（a）径向短程线97

（b）束缚轨道（E2＜1）99

（i）第一类轨道101

（α）e＝0情形104

（β）2μ（3＋e）＝1情形105

（γ）后牛顿近似106

（ii）第二类轨道106

（α）e＝0情形107

（β）2μ（3＋e）＝1情形108

（iii）虚偏心率轨道109

（c）开放轨道（E2＞1）111

（i）第一和第二类轨道111

（ii）虚偏心率轨道119

20.史瓦西时空的短程线：零短程线121

（a）径向短程线121

（b）临界轨道123

（i）回避锥125

（c）第一类短程线128

（i）P→3M和P/3M》1时ψ∞的渐近行为130

（d）第二类短程线131

（e）虚偏心率和碰撞参量小于（3？3）M的轨道131

21.史瓦西时空的纽曼－彭罗斯形式描述132

文献注释134

第四章 史瓦西黑洞的扰动136

22.引言136

23.非定常态、轴对称时空的里奇和爱因斯坦张量136

24.度规扰动139

（a）轴向扰动139

（b）极向扰动142

（i）方程组简化为单个一维波动方程145

（ii）解的完成147

25.关于与线性微分方程组可简化性相联系的特殊积分的定理148

（a）方程组（52）一（54）的特定解153

26.V（＋）与V（-）之间和Z（＋）与Z（-）之间的关系155

27.反射和透射问题158

（a）轴向和极向扰动的反射和透射系数的相等性159

28.一维势散射理论要点和两个势产生相同透射振幅的必要条件161

（a）约斯特函数及其满足的积分方程163

（b）lgT（σ）展开为σ-1的幂级数和不同的势产生相同透射振幅的条件165

（c）对应于势V（±）＝±βf′＋β2f2＋κf的积分等式等级性的直接验证168

29.通过纽曼－彭罗斯形式处理的扰动168

（a）已经线性化的方程及其简化170

（b）方程组（237）—（242）解的完成和影子规范174

30.变换理论176

（a）f＝1和β＝常数的变换存在的条件；双重变换179

（b）支配F的方程的验证以及к和β2的值181

31.借助于度规扰动对ψ0的直接计算182

（a）ψ0的轴向部分183

（b）ψ0的极向部分185

32.理论的物理含义186

（a）散射矩阵幺正性的应用189

33.对扰动理论的一些观察190

34.史瓦西黑洞的稳定性192

35.史瓦西黑洞的准正则模式193

文献注释194

第五章 雷斯纳－诺兹特朗解197

36.引言197

37.雷斯纳－诺兹特朗解197

（a）麦克斯韦方程的解198

（b）爱因斯坦方程的解198

38.时空的性质201

39.雷斯纳－诺兹特朗度规的另一种导出205

40.雷斯纳－诺兹特朗时空的短程线206

（a）零短程线207

（b）类时短程线209

（c）带电粒子的运动214

41.雷斯纳－诺兹特朗时空的纽曼－彭罗斯形式描述215

42.雷斯纳－诺兹特朗解的度规扰动216

（a）线性化的麦克斯韦方程216

（b）里奇张量的扰动218

（c）轴向扰动218

（d）极向扰动221

（i）解的完成225

43.Vi（＋）与Vi（-）之间和Zi（＋）与Zi（-）之间的关系225

44.通过纽曼－彭罗斯形式处理的扰动227

（a）已经线性化的麦克斯韦方程227

（b）“影子”规范229

（c）基本方程230

（d）变量的分离和方程的解耦及简化231

45.变换理论234

（a）双重变换的可接受性235

（b）Y±i和X＋j的渐近行为237

46.借助于度规扰动对外尔和麦克斯韦标量的直接计算238

（a）麦克斯韦标量φ0和φ2240

47.反射和透射问题；散射矩阵242

（a）麦克斯韦场的能量－动量张量和电磁能量流245

（b）散射矩阵246

48.雷斯纳－诺兹特朗黑洞的准正则模式248

49.关于雷斯纳－诺兹特朗时空稳定性的考虑249

50.对静态黑洞解的一些综合观察256

文献注释257

第六章 克尔度规260

51.引言260

52.支配定常态轴对称真空时空的方程260

（a）共轭度规264

（b）帕帕培特罗变换264

53.规范的选择和方程向标准形式的简化265

（a）支配X和Y的方程的一些性质269

（b）方程的替代形式269

（c）恩斯特方程271

54.克尔度规的推导273

（a）黎曼张量的四次分量276

55.克尔度规的唯一性；罗宾逊和卡特的定理278

56.克尔时空的纽曼－彭罗斯形式描述285

57.度规的克尔－席尔德形式288

（a）将克尔度规表示为克尔－席尔德形式292

58.克尔时空的性质294

（a）能层301

文献注释302

第七章 克尔时空的短程线305

59.引言305

60.D型时空中短程线运动积分的定理305

61.赤道面上的短程线313

（a）零短程线314

（b）类时短程线318

（i）L＝aE的特别情形318

（ii）圆形的和相关的轨道319

62.短程线运动的一般方程和哈密顿－雅可比方程的可分离性327

（a）哈密顿－雅可比方程的可分离性和基本方程的另一种导出329

63.零短程线332

（a）θ运动332

（i）η＞0333

（ii）η＝0333

（iii）η＜0334

（b）主零迭合334

（c）r运动335

（d）a＝M情形341

（e）偏振方向沿零短程线的传播341

64.类时短程线345

（a）θ运动345

（b）r运动346

65.彭罗斯过程349

（a）原初彭罗斯过程350

（b）瓦尔德不等式352

（c）巴丁－珀勒斯－楚科尔斯基不等式354

（d）可逆的能量提取356

66.a2＞M2时的短程线357

（a）零短程线358

（b）类时短程线358

（c）对因果律的违反359

文献注释361

第八章 克尔几何中的电磁波364

67.引言364

68.定义和引理365

69.麦克斯韦方程：简化和可分离性366

（a）对φ0和φ2的方程的简化和可分离性367

70.楚科尔斯基－斯塔罗宾斯基等式368

71.解的完成374

（a）对φ1的解375

（b）等式（80）的验证376

（c）对矢量势的解377

72.楚科尔斯基方程到标准形式的变换379

（a）r＊（r）关系381

73.一般变换理论和向一维波动方程的简化382

74.入射电磁波的势垒385

（a） Z（＋σ＋）与Z（-σ＋）的区别387

（b）解的渐近行为389

75.反射和透射问题391

（a）σ＋＞σ＋c（＝-a/m）和α2＞0的情形391

（b）σ＋s＜σ＋＜σ＋c情形392

（c）0≤σ＋＜＋s情形393

76.进一步放大和物理解释397

（a）幺正性的应用400

（b）无穷远处和事件视界上辐射流的直接计算401

（c）进一步放大405

77.对理论的一些综合观察406

文献注释408

第九章 克尔黑洞的引力扰动410

78.引言410

79.支配外尔标量ψ0、ψ1、ψ3和ψ4的方程的简化和解耦411

80.规范的选择和自旋系数κ、σ、λ、ν的解414

（a）影子规范414

81.楚科尔斯基－斯塔罗宾斯基等式416

（a）有用公式汇集421

（b）括号标记422

82.度规扰动；问题的表述422

（a）基矢扰动的矩阵表示423

（b）度规系数的扰动424

（c）须确定的量、可用的方程和具有的规范自由度的列举425

83.剩余比安基恒等式的线性化426

84.转换关系的线性化；三组方程427

85.Ⅰ组的简化431

86.Ⅱ组的简化；可积条件432

87.可积条件的解435

88.ψ的可分离性和函数R、Y441

（a）用楚科尔斯基函数表示R和Y442

89.Ⅱ组简化的完成和R、Y满足的微分方程444

90.四个线性化的里奇恒等式447

91.方程（209）和（210）的解449

（a）方程（233）—（236）的简化451

（b）可积条件454

92.Z1和Z2的明晰解455

（a）Z1和Z2解的确定458

（b）方程（211）和（212）的进一步应用459

93.解的完成460

94.积分等式462

（a）由可积条件（263）导出的进一步等式464

95.回顾471

96.史瓦西极限a→0时解的形式474

97.变换理论和入射引力波的势垒476

（a）一个明晰解477

（b）Z（＋σ＋）与Z（-σ＋）的区别479

（c）势的性质480

（d）属于不同势的解之间的关系485

（e）解的渐近行为487

98.反射和透射问题487

（a）用附有适当边界条件的楚科尔斯基方程的解表示R和T490

（b）无穷远处辐射流的直接计算493

（c）穿过事件视界的能量流496

（d）霍金－哈特尔公式498

99.克尔黑洞的准正则模式500

100.最后的观察501

文献注释501

第十章 克尔几何中自旋为1/2的粒子503

101.引言503

102.旋量分析和纽曼－彭罗斯形式的旋量基503

（a）用旋量表示矢量和张量507

（b）彭罗斯用“旗”作为旋量ξA的图画表示509

（c）并矢形式510

（d）旋量场的协变导数和自旋系数512

103.纽曼－彭罗斯形式的狄拉克方程515

104.克尔几何中的狄拉克方程及其分离517

105.克尔几何中的中微子波519

（a）对σ＞σs（＝-am/2Mr＋）的反射和透射问题521

（b）超辐射的缺失（0＜σ＜σs）523

106.守恒流和狄拉克方程向一维波动方程形式的简化524

（a）狄拉克方程简化为一维波动方程形式525

（b）狄拉克方程在平直空间椭球坐标系中的分离形式527

107.反射和透射问题528

（a）朗斯基行列式［Z±，Z＊±］对r的范围r＋＜r＜∞的守恒性529

（b）穿过事件视界能流的正值性530

（c）超辐射缺失的量子起因532

文献注释532

第十一章 其它解；其它方法535

108.引言535

109.支配定常态轴对称时空的爱因斯坦－麦克斯韦方程535

（a）规范的选择和方程简化为标准形式538

（b）方程的进一步变换539

（c）恩斯特方程540

（d）恩斯特方程的变换性质542

（e）共轭运算543

110.克尔－纽曼解：推导和纽曼－彭罗斯形式描述544

（a）纽曼－彭罗斯形式的克尔－纽曼时空描述550

111.支配克尔－纽曼时空的耦合电磁－引力扰动的方程551

112.表示静态黑洞的解554

（a）黑洞平衡的条件557

113.表示黑洞集的爱因斯坦－麦克斯韦方程的解558

（a）场方程的简化560

（b）玛居姆达－帕帕培特罗解561

（c）表示黑洞集的解562

114.变分法和黑洞解的稳定性566

（a）场方程关于定常态解的线性化；初值方程572

（b）比安基恒等式576

（c）剩余场方程的线性化形式578

（d）支配准定常态变形的方程；卡特定理579

（e）扰动问题的变分公式583

（i）变分原理588

（ii）克尔解对轴对称扰动的稳定性589

文献注释590

附录 楚科尔斯基函数及相关函数的表594

文献注释606

后记607

中英对照索引608