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第○章 预备知识1

0.1连加、连乘与数学归纳法1

一、连加号Σ1

二、连乘号Π2

三、数学归纳法3

习题0.14

0.2映射、变换4

习题0.27

0.3等价关系、群与域的概念7

一、等价关系7

二、代数系统8

三、群的概念8

四、域的概念、数域9

习题0.310

0.4整数的算术10

一、Z上的带余除法10

二、最大公因子11

三、算术基本定理13

习题0.413

第一章 矩阵及其初等变换14

1.1矩阵及其运算14

一、矩阵的概念14

二、矩阵的线性运算16

三、矩阵的乘法19

四、矩阵的转置25

习题1.128

1.2 Gauss消元法与矩阵的初等变换30

一、Gauss消元法31

二、矩阵的初等变换33

三、初等矩阵38

习题1.242

1.3逆矩阵43

一、逆矩阵的概念与性质43

二、用行初等变换求逆矩阵46

习题1.351

1.4分块矩阵53

习题1.459

复习题一60

第二章 行列式64

2.1 n阶行列式的定义64

习题2.169

2.2行列式的性质与计算69

一、行列式的性质69

二、行列式的计算74

三、方阵乘积的行列式80

习题2.282

2.3 Laplace展开定理84

习题2.387

2.4分块矩阵的初等变换88

习题2.491

2.5矩阵的逆与行列式91

习题2.596

2.6矩阵的秩97

一、矩阵秩的概念97

二、矩阵秩的计算98

三、矩阵秩的性质101

习题2.6104

复习题二105

第三章n维向量空间108

3.1 n维向量空间的概念108

一、n维向量空间的概念108

二、Pn的子空间111

习题3.1113

3.2向量组的线性相关性114

一、向量组的线性组合114

二、向量组的线性相关性117

习题3.2124

3.3向量组的秩与极大无关组125

一、向量组的秩与极大无关组的概念125

二、Fn的基、维数与坐标130

习题3.3130

3.4线性方程组解的结构131

一、齐次线性方程组131

二、非齐次线性方程组138

习题3.4145

复习题三147

第四章 多项式151

4.1一元多项式151

一、一元多项式151

二、多项式的运算151

三、一元多项式函数153

习题4.1154

4.2带余除法与整除关系155

一、带余除法155

二、整除的性质156

习题4.2157

4.3多项式的最大公因式158

一、多项式的最大公因式158

二、多项式互素161

习题4.3163

4.4因式分解定理164

一、不可约多项式164

二、因式分解定理166

习题4.4167

4.5重因式168

习题4.5170

4.6.多项式的根与重根170

习题4.6173

4.7复系数与实系数多项式的因式分解173

习题4.7175

4.8有理系数多项式176

一、本原多项式176

二、整系数多项式的有理根178

三、有理数域上不可约多项式的判别方法179

习题4.8180

4.9多元多项式181

习题4.9184

4.10对称多项式185

习题4.10188

复习题四188

第五章 线性空间189

5.1线性空间的定义与性质189

一、线性空间的定义189

二、线性空间的简单性质190

习题5.1191

5.2线性空间的同构191

习题5.2195

5.3基变换与坐标变换196

习题5.3201

5.4线性子空间的交与和202

一、线性子空间的性质202

二、子空间的交203

三、子空间的和204

习题5.4207

5.5线性子空间的直和208

习题5.5212

复习题五212

第六章 线性变换214

6.1线性映射214

一、线性映射的概念214

二、线性映射的性质215

三、线性映射在基下的矩阵217

四、线性映射的运算218

习题6.1221

6.2线性变换222

一、定义与性质222

二、可逆线性映射223

三、线性变换的运算与矩阵224

四、线性变换在不同基下矩阵的关系227

习题6.2227

6.3线性映射的像与核228

习题6.3231

6.4特征值与特征向量233

一、方阵与线性变换的特征值233

二、特征值与特征向量的计算234

三、Hamilton-Cayley定理241

习题6.4242

6.5相似对角化243

一、问题的提出243

二、矩阵的相似244

三、矩阵的相似对角化246

习题6.5254

6.6不变子空间255

一、？-不变子空间255

二、？-子空间分解257

三、广义特征子空间分解258

习题6.6259

6.7对偶空间260

一、对偶空间260

二、二重对偶261

习题6.7262

复习题六262

第七章Jordan标准形与λ-矩阵265

7.1最小多项式265

习题7.1270

7.2 Jordan-Chevalley分解271

一、幂零与半单271

二、中国剩余定理272

三、Jordan -Chevalley分解274

习题7.2277

7.3循环不变子空间与Jordan标准形278

一、循环不变子空间278

二、幂零线性变换的Jordan标准形280

三、复线性空间上一般线性变换的Jordan标准形281

习题7.3282

7.4 λ-矩阵283

一、λ-矩阵的定义及其基本性质283

二、λ-矩阵的相抵标准形284

三、相抵标准形的惟一性287

习题7.4289

7.5矩阵相似性的判定与有理标准形290

一、方阵的相似与λ-矩阵的相抵290

二、矩阵的有理标准形292

习题7.5294

7.6初等因子与Jordan标准形295

一、初等因子295

二、初等因子组的计算296

三、Jordan标准形298

四、Jordan标准形的应用举例299

习题7.6301

复习题七302

第八章 欧氏空间304

8.1内积与欧氏空间304

一、定义与实例304

二、Cauchy不等式305

三、度量矩阵307

习题8.1309

8.2标准正交基310

一、标准正交基310

二、Gram-Schmidt正交化311

三、正交矩阵313

四、欧氏空间上的同构315

习题8.2316

8.3正交变换与正交补317

一、正交变换317

二、正交补319

三、内射影与最小二乘解320

习题8.3321

8.4实对称矩阵的标准形322

一、实对称矩阵322

二、对称变换323

习题8.4327

8.5酉空间简介328

复习题八329

第九章 二次型与双线性函数331

9.1二次型331

一、二次型的定义331

二、可逆线性替换332

习题9.1333

9.2标准形与规范形334

一、配方法334

二、规范形及其惟一性337

习题9.2340

9.3正定二次型341

一、正交线性替换化实二次型为标准形341

二、正定二次型与正定矩阵343

三、正定矩阵与欧氏空间的度量矩阵346

四、负定、半正定、半负定与不定二次型347

习题9.3348

9.4双线性函数349

一、双线性函数349

二、非退化双线性函数351

三、对称与反称双线性函数351

习题9.4354

复习题九355

习题答案356