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第1章 函数的极限与连续1

1.0 预备知识2

一、实数2

二、代数式4

三、数列6

1.1 函数7

一、函数概念7

二、具有某种特性的函数8

三、基本初等函数9

四、函数运算12

五、函数构建14

1.2 数列的极限14

一、数列14

二、数列极限的定性描述15

三、数列极限的定量描述16

四、收敛数列的性质18

1.3 函数的极限20

一、x→∞时函数的极限20

二、x→x0时函数的极限21

1.4 无穷小量与无穷大量23

一、无穷小量23

二、无穷大量24

三、无穷小量的阶25

1.5 函数极限的性质及运算法则26

一、极限的性质26

二、极限运算法则26

1.6 两个极限判定准则和两个重要极限29

一、夹逼准则及重要极限limx→0sin x/x＝130

二、单调有界收敛准则及重要极限limx→∞（1＋1/x）x＝e32

三、复利与贴现34

四、利用等价无穷小代换求极限35

1.7 函数的连续性36

一、函数的改变量36

二、函数的连续性37

三、函数的间断点38

四、初等函数的连续性39

五、闭区间上连续函数的性质40

第2章 导数与微分42

2.1 导数的概念43

一、引例43

二、导数的定义45

三、导数的几何意义48

四、左导数和右导数48

五、可导与连续的关系49

2.2 函数的求导法则49

一、函数的和、差、积、商的求导法则49

二、反函数的求导法51

三、复合函数的求导法52

四、导数公式53

五、综合杂例54

2.3 高阶导数55

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数56

一、隐函数的导数56

二、由参数方程所确定的函数的导数58

2.5 函数的微分60

一、微分的定义60

二、微分的几何意义62

三、微分法则63

四、微分形式的不变性64

五、微分的应用65

第3章 中值定理与导数的应用67

3.1 微分中值定理68

一、罗尔定理68

二、拉格朗日定理70

三、柯西定理72

3.2 洛必达法则73

3.3 函数的增减性78

一、问题的提出78

二、函数单调增减性的判定79

3.4 函数的极值81

3.5 最大值与最小值，极值的应用问题84

一、最大值与最小值84

二、极值的应用问题举例86

3.6 曲线的凹向与拐点87

3.7 函数图形的作法90

一、曲线的渐近线90

二、函数图形的作法92

3.8 曲率94

一、弧微分94

二、曲率及其计算公式95

三、曲率圆与曲率半径98

3.9 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍99

一、函数变化率——边际函数99

二、成本99

三、收益100

四、函数的相对变化率——函数的弹性101

五、需求函数与供给函数103

六、需求弹性与供给弹性104

七、用需求弹性分析总收益（或市场销售总额）的变化105

第4章 不定积分107

4.1 不定积分的概念与性质108

一、原函数的概念108

二、不定积分108

三、基本积分公式109

四、不定积分的性质109

五、直接积分法110

4.2 换元积分法111

一、第一类换元积分法（凑微分法）112

二、第二类换元积分法117

4.3 分部积分法119

4.4 有理函数的积分122

一、有理函数的积分122

二、可化为有理函数的积分举例124

第5章 定积分127

5.1 定积分的概念与性质128

一、定积分问题举例128

二、定积分的定义130

三、定积分的几何意义132

四、定积分的性质132

5.2 微积分基本公式134

一、积分上限的函数及其导数134

二、牛顿－莱布尼茨公式135

5.3 定积分的换元积分法和分部积分法137

一、定积分的换元积分法137

二、定积分的分部积分法139

5.4 广义积分140

一、无穷区间上的广义积分140

二、无界函数的广义积分142

5.5 定积分的应用144

一、定积分的元素法144

二、定积分在几何学中的应用145

三、经济应用举例151

四、物理应用举例152

第6章 空间解析几何与向量代数153

6.1 空间直角坐标系154

一、空间直角坐标系154

二、空间两点间的距离154

6.2 向量及其线性运算155

一、向量的概念155

二、向量的线性运算156

三、向量的坐标表示157

6.3 向量的数量积与向量积160

一、向量的数量积160

二、向量的向量积161

6.4 平面及其方程163

一、平面的点法式方程163

二、平面的一般方程164

三、两平面的夹角165

四、点到平面的距离166

6.5 空间直线及其方程167

一、空间直线的一般方程167

二、空间直线的对称式方程与参数方程167

三、两直线的夹角169

四、直线与平面的夹角169

6.6 曲面及其方程171

一、曲面方程的概念171

二、旋转曲面172

三、柱面174

四、二次曲面174

6.7 空间曲线及其方程177

一、空间曲线的一般方程177

二、空间曲线的参数方程177

三、空间曲线在坐标面上的投影178

第7章 多元函数微分学及其应用180

7.1 多元函数的基本概念181

一、区域181

二、多元函数的定义182

三、多元函数的极限183

四、多元函数的连续性184

7.2 偏导数185

一、偏导数185

二、高阶偏导数187

7.3 全微分及其应用188

一、全微分的定义188

二、全微分在近似计算中的应用190

7.4 复合函数的微分法与隐函数的微分法191

一、复合函数的微分法191

二、全微分形式不变性194

三、隐函数的微分法195

7.5 微分法在几何上的应用196

一、空间曲线的切线与法平面196

二、曲面的切平面与法线198

7.6 方向导数与梯度200

一、方向导数200

二、梯度202

7.7 二元函数的极值204

一、二元函数的极值204

二、条件极值与拉格朗日乘数法207

第8章 多元函数积分学209

8.1 二重积分的概念与性质210

一、二重积分的概念210

二、二重积分的性质211

8.2 二重积分的计算213

一、直角坐标系下计算二重积分213

二、交换二次积分次序的步骤216

三、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算216

四、极坐标系下计算二重积分217

8.3 第一类曲线积分219

一、引例219

二、第一类曲线积分的定义与性质220

三、第一类曲线积分的计算221

8.4 第二类曲线积分222

一、引例222

二、第二类曲线积分的定义与性质223

三、第二类曲线积分的计算224

8.5 格林公式及其应用226

一、格林公式226

二、平面上曲线积分与路径无关的条件227

第9章 无穷级数230

9.1 常数项级数的概念和性质231

一、常数项级数的概念231

二、收敛级数的基本性质233

9.2 正项级数的审敛法236

一、正项级数收敛的基本定理236

二、比较审敛法237

三、比值审敛法240

四、根值审敛法241

9.3 任意项级数及其审敛法242

一、交错级数及其审敛法242

二、绝对收敛与条件收敛244

9.4 幂级数247

一、函数项级数的概念247

二、幂级数及其收敛性248

三、幂级数的运算252

9.5 函数展开成幂级数255

一、泰勒（Tayler）中值定理255

二、泰勒级数257

三、函数展开成幂级数的方法260

9.6 函数的幂级数展开式的应用265

9.7 傅里叶（Fourier）级数268

一、三角函数系的正交性268

二、以2π为周期的函数f（x）展开成傅里叶级数269

三、正弦级数与余弦级数273

四、以2l为周期的函数f（x）展开成傅里叶级数276

第10章 微分方程与差分方程简介279

10.1 微分方程的基本概念280

一、引例280

二、微分方程的定义282

三、微分方程的解283

10.2 一阶微分方程283

一、可分离变量的微分方程283

二、齐次微分方程285

三、一阶线性微分方程287

四、伯努利方程288

10.3 可降阶的高阶微分方程289

一、y″＝f（x）型的微分方程290

二、y″＝f（x，y′）型的微分方程290

三、y″＝f（y，y′）型的微分方程290

10.4 二阶常系数线性微分方程291

一、二阶常系数线性齐次微分方程291

二、二阶常系数线性非齐次微分方程294

10.5 欧拉方程297

10.6 差分方程简介298

一、差分的概念与性质298

二、差分方程的一般概念299

三、一阶常系数线性差分方程300

四、二阶常系数线性差分方程303

10.7 微分方程与差分方程的简单应用307

一、微分方程的应用举例307

二、差分方程在经济学中的应用309