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第十二章 数项级数1

12.1 级数的敛散性1

一、无穷级数及其基本性质1

二、级数与阶梯型函数的广义积分2

三、Leibniz型级数4

四、条件收敛与绝对收敛5

12.2 绝对收敛的判别法6

一、比较判别法7

二、积分判别法7

四、D'Alembert判别法8

三、等价量判别法8

五、Cauchy判别法9

12.3 绝对收敛级数与条件收敛级数的性质·Abel-Dirichlet判别法11

一、绝对收敛与条件收敛级数的性质11

二、级数的乘法13

三、Abel-Dirichlet判别法14

第十三章 函数项级数与幂级数17

13.1 一致收敛17

一、逐点收敛17

二、一致收敛17

三、函数项级数及其一致收敛性20

一、一致收敛的Cauchy准则22

13.2 函数项级数一致收敛性的判别22

二、比较判别法23

三、Abel判别法与Dirichlet判别法24

13.3 一致收敛函数项级数的性质26

一、连续性26

二、逐项积分27

三、逐项求导28

13.4 幂级数30

一、幂级数30

二、幂级数的收敛半径与收敛域30

三、幂级数的性质32

一、Taylor级数34

13.5 函数的幂级数展开34

二、基本初等函数的Taylor展开式35

三、初等函数展开为幂级数36

第十四章 Fourier级数39

14.1 Fourier级数39

一、三角级数39

二、三角函数系的正交性39

三、Fourier系数39

四、Fourier级数的部分和公式40

五、收敛定理41

二、正弦级数.余弦级数43

14.2 周期函数的Fourier级数展开43

一、几点说明43

三、以2l为周期的Fourier级数44

14.3 Fourier级数的收敛与平均收敛47

一、收敛定理47

二、平均收敛49

14.4 Fourier级数的分析性质52

第十五章 多元函数的极限和连续54

15.1 欧氏空间R254

一、基本概念54

二、R2完备性的基本定理及单调下降集列的收敛性58

二、二元函数的极限60

15.2 多元函数的极限60

一、多元函数60

三、累次极限62

四、集值函数的极限63

15.3 二元函数的连续性67

一、二元函数的连续67

二、连续函数的整体性质68

15.4 欧氏空间上映射的极限与连续70

一、欧氏空间上的映射70

二、欧氏空间上映射的极限与连续71

一、偏导数72

第十六章 多元函数的偏导数与全微分72

16.1 偏导数72

二、高阶偏导数73

16.2 全微分75

一、全微分的定义75

二、可微的必要条件76

三、可微的充分条件77

四、切平面77

16.3 复合函数的求导法则79

一、链式法则79

二、一阶微分形式不变性81

16.4 方向导数与梯度84

一、方向导数84

二、梯度85

16.5 中值定理与Taylor公式86

一、Taylor公式86

二、中值定理87

16.6 欧氏空间上的可微映射88

一、全导数88

二、矩阵函数88

五、链式法则89

四、可微条件89

三、可微映射的定义89

六、微分中值不等式90

第十七章 隐函数与反函数92

17.1 隐函数92

一、隐函数的概念92

二、隐函数的求导法92

三、隐函数存在定理93

17.2 隐函数组与反函数组97

一、由方程组所确定的隐函数的求导法97

二、隐函数组存在定理97

三、反函数组98

17.3 一般形式的隐函数定理与反函数定理102

一、映射的偏导数102

二、隐函数定理的一般形式102

三、反函数定理104

第十八章 切线、切面、极值105

18.1 切线、切面105

一、曲线的切向量、切线105

二、曲面的切平面105

三、隐函数方程组给出的曲线的切线方程108

二、极值的必要条件110

一、极值的概念110

18.2 极值110

三、极值的充分条件111

四、注释112

五、最小二乘法112

18.3 条件极值114

一、条件极值的概念114

二、Lagrange乘数法115

一、含参变量正常积分的概念119

19.2 含参变量的广义积分119

二、含参变量的分析性质119

19.1 含参变量的正常积分119

第十九章 含参变量积分119

一、一致收敛的概念122

二、Cauchy准则125

三、一致收敛的判别法126

四、含参变量广义积分的分析性质128

19.3 Euler积分131

一、Gamma函数Г131

二、Beta函数132

第二十章 重积分136

20.1 二重积分的概念与性质136

一、二重积分的定义136

二、可积条件137

三、二重积分的性质138

四、约当(Jordan)测度138

五、可积函数140

六、再论二重积分的定义140

20.2 二重积分的计算143

一、矩形上的二重积分化为累次积分143

二、有界集上的二重积分化为累次积分144

三、用极坐标计算二重积分145

四、二重积分的换元法147

一、三重积分155

20.3 三重积分155

二、化三重积分为累次积分156

三、三重积分的换元法156

第二十一章 曲线积分与曲面积分162

21.1 曲线积分162

一、第一型曲线积分162

二、第二型曲线积分163

三、有向曲线积分的计算165

21.2 曲面积分168

一、曲面面积168

二、曲面面积的计算169

三、第一型曲面积分171

四、有向曲面172

五、第二型曲面积分的概念173

六、第二型曲面积分的计算174

第二十二章 多变量微积分的基本定理·场论初步179

22.1 Green公式·外微分形式179

一、单连通区域179

二、Green公式179

三、Green公式的其他形式181

四、外微分181

五、两重积分变量代换定理的证明181

六、外微分形式183

一、Gauss公式187

22.2 Gauss公式，Stokes公式，线积分与路径无关187

二、Stokes公式188

三、多元微积分的基本定理189

四、曲线积分与路径无关189

22.3 场论初步194

一、场的概念194

二、向量线194

三、梯度194

四、散度195

五、旋度196

六、保守场197