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绪论1

0.1 数学的发展概况1

0.2 高等数学的基本内容和思想方法3

0.3 学习高等数学过程中应该注意的一些问题8

第一章 函数与极限9

1.1 函数的概念及其初等性质9

1.1.1 集合9

1.1.2 常量 变量 函数11

1.1.3 函数的初等性质15

1.1.4 函数的初等运算20

1.1.5 基本初等函数与初等函数23

1.1.6 函数关系的建立29

习题1.131

1.2 数列极限33

1.2.1 数列的概念33

1.2.2 数列极限的概念34

1.2.3 收敛数列的性质38

1.2.4 数列收敛的判别法40

习题1.243

1.3 函数极限44

1.3.1 函数极限的概念44

1.3.2 函数极限的性质52

1.3.3 收敛判别法与两个重要极限54

习题1.358

1.4.1 无穷小及其性质60

1.4 无穷小与无穷大60

1.4.2 无穷小阶的比较63

1.4.3 无穷大及其性质65

习题1.467

1.5 函数的连续性68

1.5.1 函数的连续与间断68

1.5.2 连续函数的运算72

习题1.575

1.6 闭区间上连续函数的性质76

习题1.680

复习题一80

总习题一82

选读 经济学中常用函数83

数学家小传85

第二章 一元函数的导数与微分88

2.1 导数的概念88

2.1.1 导数概念的实例88

2.1.2 导数定义90

2.1.3 导数意义的解释91

2.1.4 导函数、函数的求导举例93

2.1.5 可导与连续的关系 可导的充分必要条件94

习题2.198

2.2 导数的计算99

2.2.1 导数的四则运算100

2.2.2 反函数的导数102

2.2.3 复合函数的求导法则103

2.2.4 初等函数的求导105

习题2.2107

2.3 高阶导数108

2.3.1 高阶导数的概念108

2.3.2 高阶导数的计算109

2.3.3 高阶导数的运算法则111

习题2.3112

2.4 几种类型函数的求导方法113

2.4.1 隐函数的求导法113

2.4.2 对数求导法116

2.4.3 参数方程所确定的函数的导数117

2.4.4 相关变化率120

习题2.4122

2.5 函数的微分与线性逼近123

2.5.1 微分的概念123

2.5.2 微分的计算126

2.5.3 函数的一阶线性逼近129

习题2.5130

复习题二131

总习题二132

选读 导数在经济分析中的应用（I）：边际与弹性134

数学家小传136

3.1 微分中值定理138

3.1.1 费尔马定理138

第三章 微分中值定理与导数的应用138

3.1.2 罗尔中值定理139

3.1.3 拉格朗日中值定理141

3.1.4 柯西中值定理144

习题3.1146

3.2 洛必达法则146

3.2.1 0/0型不定式的洛必达法则147

3.2.2 ∞/∞型不定式的洛必达法则149

3.2.3 其他类型的不定式150

习题3.2154

3.3 泰勒公式与函数的高阶多项式逼近154

3.3.1 泰勒公式154

3.3.2 函数的高阶多项式逼近158

习题3.3161

3.4 函数的单调性与凸性162

3.4.1 函数的单调性的判别法162

3.4.2 函数凸性的判别法166

习题3.4170

3.5 函数极值与最值的求法171

3.5.1 函数极值的判别法171

3.5.2 函数的最值的计算174

习题3.5176

3.6 弧微分 曲率 函数作图177

3.6.1 弧微分177

3.6.2 曲率及其计算179

3.6.3 曲线的渐近线183

3.6.4 函数图形的描绘186

习题3.6189

复习题三189

总习题三190

选读 导数在经济分析中的应用（II）：管理与决策192

数学家小传195

第四章 不定积分198

4.1 不定积分的概念与性质198

4.1.1 原函数198

4.1.2 不定积分199

4.1.3 不定积分的性质201

4.1.4 基本积分公式202

习题4.1206

4.2 换元积分法207

4.2.1 第一类换元法207

4.2.2 第二类换元法214

习题4.2220

4.3 分部积分法223

习题4.3228

4.4 特殊类型函数的积分法229

4.4.1 有理函数的积分229

4.4.2 三角函数有理式的积分234

4.4.3 简单无理函数的积分236

4.4.4 积分表的使用239

习题4.4241

复习题四242

总习题四244

选读 函数迭代与混沌246

第五章 定积分及其应用250

5.1 定积分的概念与性质250

5.1.1 定积分问题的提出250

5.1.2 定积分的定义253

5.1.3 定积分的性质258

习题5.1264

5.2 微积分基本公式265

5.2.1 变上限的定积分265

5.2.2 变上限的定积分的性质268

5.2.3 牛顿-莱布尼兹公式268

习题5.2274

5.3 定积分的计算277

5.3.1 换元法277

5.3.2 分部积分法282

5.3.3 近似计算285

习题5.3291

5.4 广义积分293

5.4.1 无穷限的广义积分293

5.4.2 无界函数的广义积分298

5.4.3 Г函数302

习题5.4304

5.5 定积分在几何上的应用305

5.5.1 建立定积分数学模型的微元法305

5.5.2 平面图形的面积307

5.5.3 体积312

5.5.4 平面曲线的弧长317

5.5.5 旋转体的侧面积321

习题5.5322

5.6 定积分在物理上的应用324

5.6.1 变力作功324

5.6.2 水压力327

5.6.3 引力329

5.6.4 平均值331

习题5.6333

复习题五334

总习题五336

选读 积分学在经济分析中的应用：总量与贴现340

数学家小传及数学史342

第六章 微分方程与差分方程初步345

6.1 微分方程的基本概念345

习题6.1350

6.2 一阶微分方程351

6.2.1 可分离变量方程351

6.2.2 齐次方程352

6.2.3 一阶线性微分方程354

6.2.4 伯努里方程357

6.2.5 黎卡提方程与初值问题解的存在唯一性358

习题6.2359

6.3.1 y =f(x)型方程361

6.3 可降阶的二阶微分方程361

6.3.2 y =f(x,y )型方程362

6.3.3 y =f(x,y )型方程362

习题6.3365

6.4 二阶线性微分方程366

6.4.1 二阶线性微分方程解的性质与通解的结构366

6.4.2 二阶线性非齐次方程解的常数变易法368

6.4.3 二阶常系数线性齐次方程的解法369

6.4.4 二阶常系数线性非齐次方程的解法372

习题6.4377

6.5 微分方程的应用举例378

习题6.5388

6.6 简单差分方程及其应用389

6.6.1 差分方程的一般概念390

6.6.2 一阶和二阶常系数线性差分方程的解法392

6.6.3 差分方程的应用396

6.7 微分方程数值解399

习题6.7402

复习题六402

总习题六403

选读 文物年代的鉴定405

数学家小传407

附录I 高等数学常用数学名词英文注释409

附录II 几种常用的曲线414

附录III 积分表418

习题答案428