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第1章 素数（1）1

1.1　整除性1

1.2　素数2

1.3　算术基本定理的表述3

1.4　素数序列4

1.5　关于素数的某些问题5

1.6　若干记号6

1.7　对数函数8

1.8　素数定理的表述9

本章附注10

第2章　素数（2）11

2.1 Euclid第二定理的第一个证明11

2.2 Euclid方法的推论11

2.3　某种算术级数中的素数12

2.4 Euclid定理的第二个证明13

2.5 Fermat数和Mersenne数14

2.6 Euclid定理的第三个证明16

2.7　关于素数公式的进一步结果17

2.8　关于素数的未解决的问题18

2.9　整数模19

2.10　算术基本定理的证明20

2.11　基本定理的另一个证明21

本章附注21

第3章 Farey数列和Minkowski定理23

3.1　Farey数列的定义和最简单的性质23

3.2　两个特征性质的等价性24

3.3　定理28和定理29的第一个证明25

3.4　定理28和定理29的第二个证明25

3.5　整数格26

3.6　基本格的某些简单性质27

3.7　定理28和定理29的第三个证明29

3.8　连续统的Farey分割29

3.9 Minkowski定理30

3.10 Minkowski定理的证明32

3.11　定理37的进一步拓展33

本章附注35

第4章　无理数37

4.1　概论37

4.2　已知的无理数38

4.3 Pythagoras定理及其推广38

4.4　基本定理在定理43至定理45证明中的应用40

4.5　历史杂谈41

4.6　？无理性的几何证明42

4.7　更多的无理数43

本章附注45

第5章　同余和剩余47

5.1　最大公约数和最小公倍数47

5.2　同余和剩余类48

5.3　同余式的初等性质49

5.4　线性同余式50

5.5 Euler函数φ（m）52

5.6　把定理59和定理61应用到三角和中54

5.7　一个一般性的原理57

5.8　正十七边形的构造58

本章附注62

第6章　Fermat定理及其推论64

6.1 Fermat定理64

6.2　二项系数的某些性质65

6.3　定理72的第二个证明67

6.4　定理22的证明67

6.5　二次剩余68

6.6　定理79的特例：Wilson定理70

6.7　二次剩余和非剩余的初等性质71

6.8 a（mod m）的阶73

6.9 Fermat定理的逆定理74

6.10 2p－1－1是否能被p2整除75

6.11 Gauss引理和2的二次特征76

6.12　二次互倒律79

6.13　二次互倒律的证明81

6.14　素数的判定82

6.15 Mersenne数的因子和Euler定理84

本章附注84

第7章　同余式的一般性质86

7.1　同余式的根86

7.2　整多项式和恒等同余式86

7.3　多项式（mod m）的整除性88

7.4　素数模同余式的根88

7.5　一般定理的某些应用90

7.6 Fermat定理和Wilson定理的Lagrange证明92

7.7　［1/2（p－1）］ ！的剩余93

7.8 Wolstenholme定理94

7.9 von Staudt定理95

7.10 von Staudt定理的证明97

本章附注99

第8章　复合模的同余式100

8.1　线性同余式100

8.2　高次同余式102

8.3　素数幂模的同余式102

8.4　例子104

8.5 Bauer的恒等同余式105

8.6 Bauer的同余式：p=2的情形107

8.7 Leudesdorf的一个定理108

8.8 Bauer定理的进一步的推论110

8.9 2p－1和（p－1）！关于模p2的同余式112

本章附注114

第9章　用十进制小数表示数115

9.1　与给定的数相伴的十进制小数115

9.2　有限小数和循环小数118

9.3　用其他进位制表示数119

9.4　用小数定义无理数120

9.5　整除性判别法122

9.6　有最大周期的十进制小数122

9.7 Bachet的称重问题123

9.8 Nim博弈125

9.9　缺失数字的整数127

9.10　测度为零的集合128

9.11　缺失数字的十进制小数130

9.12 正规数131

9.13　几乎所有的数都是正规数的证明133

本章附注136

第10章　连分数137

10.1　有限连分数137

10.2　连分数的渐近分数138

10.3　商为正的连分数139

10.4　简单连分数140

10.5　用简单连分数表示不可约有理分数141

10.6　连分数算法和Euclid算法143

10.7　连分数与其渐近分数的差145

10.8　无限简单连分数147

10.9　用无限连分数表示无理数148

10.10　一个引理150

10.11　等价的数151

10.12　周期连分数154

10.13　某些特殊的二次根式156

10.14 Fibonacci数列和Lucas数列158

10.15　用渐近分数作逼近161

本章附注165

第11章　用有理数逼近无理数166

11.1　问题的表述166

11.2　问题的推广167

11.3　Dirichlet的一个论证方法168

11.4　逼近的阶170

11.5　代数数和超越数171

11.6　超越数的存在性172

11.7 Liouville定理和超越数的构造173

11.8　对任意无理数的最佳逼近的度量175

11.9　有关连分数的渐近分数的另一个定理176

11.10　具有有界商的连分数177

11.11　有关逼近的进一步定理180

11.12 联立逼近182

11.13 e的超越性182

11.14　π的超越性186

本章附注189

第12章　k(1),k(i),k（ρ）中的算术基本定理191

12.1　代数数和代数整数191

12.2　有理整数、Gauss整数和k（ρ）中的整数191

12.3 Euclid算法193

12.4　将Euclid算法应用到k（1）中的基本定理193

12.5　关于Euclid算法和基本定理的历史注释195

12.6 Gauss整数的性质195

12.7 k（i）中的素元197

12.8　k（i）中的算术基本定理199

12.9 k（ρ）中的整数201

本章附注204

第13章　某些Diophantus方程205

13.1 Fermat大定理205

13.2　方程x2+y2=z2205

13.3　方程x4+y4=z4206

13.4　方程x3+y3=z3208

13.5　方程x3+y3=3z3211

13.6　用有理数的三次幂之和表示有理数213

13.7　方程x3+y3+z3=t3215

本章附注218

第14章　二次域（1）220

14.1　代数数域220

14.2　代数数和代数整数，本原多项式221

14.3　一般的二次域k（？）222

14.4　单位和素元223

14.5　k（？）中的单位225

14.6　基本定理不成立的数域227

14.7　复Euclid域228

14.8　实Euclid域230

14.9　实Euclid域（续）232

本章附注234

第15章　二次域（2）235

15.1 k（i）中的素元235

15.2 k（i）中的Fermat定理236

15.3 k（ρ）中的素元237

15.4　k（？）和k（？）中的素元238

15.5 Mersenne数M4n+3的素性的Lucas判别法241

15.6　二次域算术上的一般性注释243

15.7　二次域中的理想244

15.8　其他的域247

本章附注248

第16章 算术函数φ(n),μ(n),d(n),σ(n),r(n)249

16.1　函数φ（n）249

16.2　定理63的进一步证明250

16.3 M？bius函数250

16.4 M？bius反转公式252

16.5　进一步的反转公式253

16.6 Ramanujan和的估计253

16.7　函数d（n）和σk（n）255

16.8　完全数256

16.9　函数r（n）257

16.10 r（n）公式的证明258

本章附注259

第17章　算术函数的生成函数261

17.1 由Dirichlet级数生成算术函数261

17.2 ζ函数262

17.3 ζ（s）在s→1时的性状263

17.4 Dirichlet级数的乘法265

17.5　某些特殊算术函数的生成函数267

17.6 M？bius公式的解析说明268

17.7　函数Λ（n）271

17.8　生成函数的进一步例子273

17.9 r（n）的生成函数274

17.10　其他类型的生成函数275

本章附注277

第18章　算术函数的阶279

18.1 d（n）的阶279

18.2 d（n）的平均阶282

18.3 σ（n）的阶285

18.4　φ（n）的阶286

18.5　φ（n）的平均阶287

18.6　无平方因子数的个数288

18.7 r（n）的阶289

本章附注291

第19章　分划292

19.1　加性算术的一般问题292

19.2　数的分划292

19.3 p（n）的生成函数293

19.4　其他的生成函数295

19.5 Euler的两个定理296

19.6　进一步的代数恒等式298

19.7 F（x）的另一个公式299

19.8 Jacobi定理300

19.9 Jacobi恒等式的特例302

19.10　定理353的应用304

19.11　定理358的初等证明305

19.12 p（n）的同余性质306

19.13 Rogers-Ramanujan恒等式308

19.14　定理362和定理363的证明310

19.15 Ramanujan连分数312

本章附注314

第20章　用两个或四个平方和表示数316

20.1 Waring问题：数g（k）和G（k）316

20.2　平方和317

20.3　定理366的第二个证明318

20.4　定理366的第三个和第四个证明319

20.5　四平方定理320

20.6　四元数322

20.7　关于整四元数的预备定理324

20.8　两个四元数的最高右公约数326

20.9　素四元数和定理370的证明327

20.10 g（2）和G（2）的值329

20.11　定理369的第三个证明的引理329

20.12　定理369的第三个证明：表法个数330

20.13　用多个平方和表示数333

本章附注334

第21章 用立方数以及更高次幂表示数336

21.1　四次幂336

21.2　三次幂：G（3）和g（3）的存在性337

21.3 g（3）的界338

21.4　更高次幂339

21.5 g（k）的一个下界340

21.6 G（k）的下界341

21.7　受符号影响的和：数v（k）344

21.8　v（k）的上界345

21.9 Prouhet-Tarry问题：数P（k,j）347

21.10　对特殊的k和j,P（k,j）的估计349

21.11 Diophantus分析的进一步问题351

本章附注354

第22章　素数（3）360

22.1　函数？（x）和ψ（x）360

22.2　？（x）和ψ（x）的阶为x的证明361

22.3 Bertrand假设和一个关于素数的“公式”363

22.4　定理7和定理9的证明366

22.5　两个形式变换367

22.6　一个重要的和368

22.7　∑p－1与П（1－p－1）370

22.8 Mertens定理372

22.9　定理323和定理328的证明374

22.10 n的素因子个数376

22.11 ω（n）和Ω（n）的正规阶377

22.12　关于圆整数的一个注解379

22.13 d（n）的正规阶380

22.14 Selberg定理381

22.15　函数R（x）和V（ξ）383

22.16　定理434、定理6和定理8证明的完成386

22.17　定理335的证明389

22.18　k个素因子的乘积389

22.19　区间中的素数392

22.20　关于素数对p,p+2分布的一个猜想393

本章附注395

第23章　Kronecker定理397

23.1　一维的Kronecker定理397

23.2　一维定理的证明398

23.3　反射光线的问题400

23.4　一般定理的表述402

23.5　定理的两种形式403

23.6　一个例证405

23.7 Kronecker定理的Lettenme-yer证明405

23.8 Kronecker定理的Estermann证明407

23.9 Kronecker定理的Bohr证明409

23.10　一致分布411

本章附注413

第24章　数的几何414

24.1　基本定理的导引和重新表述414

24.2　简单的应用415

24.3　定理448的算术证明417

24.4　最佳不等式419

24.5　关于ξ2＋η2的最佳不等式420

24.6　关于｜ξη｜的最佳不等式421

24.7　关于非齐次型的一个定理423

24.8　定理455的算术证明425

24.9　Tchebotaref定理426

24.10 Minkowski定理（定理446）的逆定理428

本章附注432

附录436

参考书目438

特殊符号以及术语索引441

常见人名对照表444

总索引446

补遗457