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第一篇 集合论3

第1章 经典集合论基础3

1.1 集合的基本概念3

1.1.1 集合的定义3

1.1.2 集合的表示3

1.1.3 集合与元素4

1.1.4 集合的特点4

1.2 集合间的关系6

1.2.1 集合之间有哪些关系6

1.2.2 维恩图8

1.3 集合代数8

1.3.1 基本集合运算的定义8

1.3.2 主要的运算公式10

1.3.3 集合运算的运用12

1.4 幂集15

1.5 有序组、笛卡儿乘积15

1.6 集合与悖论17

1.6.1 罗素悖论17

1.6.2 集合悖论的意义18

1.7 集合概念的应用19

第2章 关系21

2.1 关系的基本概念21

2.1.1 什么是关系21

2.1.2 关系的正式定义23

2.1.3 如何表示关系24

2.2 关系的基本运算25

2.2.1 关系的集合运算25

2.2.2 复合关系26

2.2.3逆关系28

2.2.4 关系运算的性质29

2.2.5 关系运算的应用30

2.3 关系的重要性质30

2.3.1 关系的基本性质31

2.3.2 关系的性质在图和矩阵上的特征32

2.4 关系上的闭包运算34

2.4.1 闭包运算的引入34

2.4.2 闭包的概念34

2.4.3 闭包的性质35

2.4.4 闭包的计算37

2.4.5 计算传递闭包的沃舍尔算法39

2.4.6 闭包的应用42

2.5 次序关系43

2.5.1 什么是次序43

2.5.2 次序关系的概念45

2.5.3 哈斯图46

2.5.4 次序关系中的特殊元素47

2.5.5 次序关系的应用49

2.5.6 如何研究一种关系50

2.6 相容关系51

2.6.1 什么是相容关系51

2.6.2 相容关系的矩阵和图53

2.6.3 极大相容性分块与覆盖53

2.7 等价关系54

2.7.1 研究等价关系的意义55

2.7.2 等价关系的基本概念55

2.7.3 等价类55

2.7.4 等价关系与划分56

2.7.5 等价关系的应用59

第3章 函数60

3.1 函数的基本概念60

3.1.1 函数的定义60

3.1.2 函数的性质61

3.2 复合函数与反函数62

3.2.1 复合函数62

3.2.2 反函数63

3.3 常用函数介绍64

3.3.1 常函数和恒等函数64

3.3.2 单调递增函数64

3.3.3 特征函数64

3.3.4 自然映射65

第4章 无限集66

4.1 概述66

4.2 引言——个故事67

4.3 热身运动——有限集与集合计数问题67

4.4 无限集合研究的基本方法69

4.5 可数无限集合69

4.6 不可数无限集合72

4.7 无穷集合基数的比较73

第二篇 抽象代数77

第5章 代数系统基础77

5.1 代数系统的一般概念77

5.1.1 运算的基本概念77

5.1.2 什么是代数系统79

5.1.3 同类型代数系统80

5.1.4 子代数系统80

5.2 代数系统的常见性质80

5.2.1 结合律81

5.2.2 交换律81

5.2.3 分配律81

5.2.4 单位元素82

5.2.5 零元素84

5.2.6 逆元素85

5.2.7 通过运算表判别运算性质的方法88

5.2.8 应用实例89

5.3 同态与同构89

5.3.1 同态／同构的基本思想89

5.3.2同态92

5.3.3 同构95

第6章 群论基础99

6.1 半群99

6.1.1 基本概念99

6.1.2 例题分析102

6.2 群104

6.2.1 群的基本概念104

6.2.2 一些典型的群105

6.2.3 群的基本性质107

6.2.4 子群110

6.2.5 群的同态与同构112

6.2.6 循环群113

6.2.7 置换群114

第三篇 图论入门119

第7章 图论基础119

7.1 图的基本概念119

7.1.1 什么是图119

7.1.2 图的同构124

7.1.3 图中结点的次数126

7.1.4 初步利用图论思想解决问题126

7.2 通路、回路和连通性130

7.2.1 通路与回路130

7.2.2 连通性131

7.3 欧拉图132

7.3.1 欧拉图的概念133

7.3.2 欧拉图的判定134

7.3.3 欧拉回路的生成135

7.3.4 欧拉图的应用137

7.4 哈密尔顿图139

7.4.1 哈密尔顿图的起源139

7.4.2 哈密尔顿图的概念139

7.4.3 哈密尔顿图的判定140

7.4.4 哈密尔顿图的应用141

7.5 图的矩阵表示142

7.5.1 问题的引入142

7.5.2 有向图的邻接矩阵143

7.5.3 可达性矩阵146

7.5.4 矩阵与图的连通性146

7.5.5 关联矩阵147

第8章 树149

8.1 树的概念及其基本性质149

8.1.1 树的概念149

8.1.2 树的基本性质151

8.2 有向树152

8.2.1 基本概念153

8.2.2 外向树应用154

8.3 二元树155

8.3.1 基本概念155

8.3.2 从外向树到二元树156

8.3.3 二元树的应用157

8.4 生成树160

8.4.1 问题的引入160

8.4.2 生成树的概念161

8.4.3 生成树的构造161

8.4.4 最小生成树163

8.4.5 最小生成树的构造163

第四篇 数理逻辑167

第9章 命题逻辑167

9.1 命题与命题联结词167

9.1.1 命题167

9.1.2 命题联结词168

9.1.3 命题符号化173

9.2 命题变元与命题公式175

9.2.1 命题变元与命题公式的概念175

9.2.2 真值指派175

9.2.3 公式类型176

9.3 命题逻辑的永真式176

9.3.1 基本等式177

9.3.2 基本蕴含重言式179

9.3.3 逆命题、否命题和逆否命题181

9.3.4 命题演算公式的应用181

9.4 对偶定理184

9.5 命题逻辑的推理规则及应用185

9.5.1 推理的基本方法185

9.5.2 推理规则187

9.5.3 基本例题191

9.5.4 推理规则的应用193

9.6 范式195

9.6.1 概述195

9.6.2 析取范式195

9.6.3 合取范式197

9.6.4 命题公式的特异范式199

9.6.5 范式的应用202

第10章 谓词逻辑205

10.1 概述205

10.2 谓词与个体206

10.2.1 个体、谓词的概念206

10.2.2 个体变元207

10.2.3 命题函数207

10.3 量词207

10.3.1 引言207

10.3.2 量词的概念208

10.3.3 全称量词208

10.3.4 存在量词208

10.3.5 量词与个体域208

10.3.6 命题符号化209

10.4 谓词逻辑公式210

10.4.1 函数210

10.4.2 谓词公式210

10.5 自由变元与约束变元211

10.5.1 自由变元与约束变元的概念211

10.5.2 换名规则212

10.5.3 代入规则213

10.6 谓词演算的永真公式213

10.6.1 公式的类型213

10.6.2 公式的等价与蕴含214

10.6.3 谓词演算的对偶定理219

10.7 谓词逻辑的推理理论219

10.7.1 推理规则219

10.7.2 推理规则的应用220

10.8 范式222

10.8.1 前束范式222

10.8.2 斯科林范式223

10.9 谓词逻辑的应用224

参考文献226