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第1章 Holder空间和Sobolev空间1

1.1 一些记号和初等公式1

习题1.1 6

1.2 光滑紧支函数及其应用6

习题1.2 14

1.3 Holder空间Cμ（？）15

习题1.3 22

1.4 Holder空间Cm，μ （？）23

习题1.4 27

1.5 Lebesgue空间Lp（Ω）28

1.5.1 空间Lp（Ω）的定义28

1.5.2 常用的积分不等式28

1.5.3 空间Lp （Ω） （1≤p＜∞）的性质32

1.5.4 空间Lp（Ω）（1≤p＜∞）中的相对紧集和弱相对紧集35

习题1.5 39

1.6 弱导数和弱可微函数40

习题1.6 47

1.7 Sobolev空间Wm，p（Ω）47

习题1.7 52

1.8 Sobolev嵌入定理53

习题1.8 59

1.9 Morrey嵌入定理61

习题1.9 64

1.10 Kondrachov-Rellich嵌入定理65

习题1.10 69

1.11 高阶Gagliardo-Nirenberg不等式70

习题1.11 74

1.12 迹定理76

1.12.1 函数在超平面上的迹76

1.12.2 超曲面上的Holder空间和Sobolev空间79

1.12.3 函数在区域边界上的迹81

1.12.4 Wm0，p（Ω）的等价刻画83

1.12.5 迹定理简介84

习题1.12 86

第2章 广义函数和Fourier变换87

2.1 广义函数87

习题2.1 94

2.2 紧支广函96

习题2.2 102

2.3 缓增广函103

习题2.3 107

2.4 Fourier变换108

习题2.4 115

2.5 Riesz-Tborin插值定理和Hausdorff-Young不等式的证明116

习题2.5 119

2.6 Paley-Wiener-Schwartz定理119

习题2.6 123

2.7 卷积124

习题2.7 129

2.8 Sobolev空间Hs （Rn）130

习题2.8 138

2.9 Littlewood-Paley分解139

习题29151

2.10 奇异积分算子152

2.10.1 Marcinkiewicz插值定理154

2.10.2 定理2.10.5 的证明157

2.10.3 定理2.10.6 的证明162

2.10.4 Riesz变换和绝对导数163

2.10.5 Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的证明165

习题2.10 167

第3章 二阶线性椭圆型方程169

3.1 基本概念169

3.1.1 椭圆型的定义169

3.1.2 经典解、强解和弱解171

3.1.3 边值问题173

习题3.1 176

3.2 弱解的存在性176

习题3.2 183

3.3 解的正则性184

3.3.1 弱导数与差商的关系185

3.3.2 解的内正则性187

3.3.3 解的边界正则性191

习题3.3 197

3.4 特征值问题197

习题3.4 206

3.5 极值原理207

3.5.1 经典解的极值原理208

3.5.2 弱解的极值原理212

3.5.3 主特征值和相应特征函数的性质217

习题3.5 220

3.6 Lp估计221

3.6.1 Lp内估计221

3.6.2 Lp全局估计224

3.6.3 两个应用227

习题36229

3.7 Lp可解性229

3.7.1 解的正则性229

3.7.2 解的存在性233

习题3.7 235

3.8 调和函数236

习题3.8 241

3.9 Cμ理论242

习题3.9 249

第4章 二阶线性发展型方程250

4.1 基本概念250

习题4.1 254

4.2 向量值函数254

4.2.1 向量值函数的连续性、导数和Riemann积分254

4.2.2 向量值函数空间Cμ（I， X）和Cm，μ（I， X）256

4.2.3 向量值函数的弱可测和强可测257

4.2.4 Pettis积分和Bochner积分258

4.2.5 函数空间Lp（I， X）和Wm，p（I，X）259

习题4.2 266

4.3 Fourier方法267

4.3.1 抛物型方程267

4.3.2 双曲型方程271

4.3.3 Schrodinger型方程273

习题4.3 274

4.4 Galerkin方法274

4.4.1 抛物型方程275

4.4.2 双曲型方程280

4.4.3 Schrodinger型方程286

习题4.4 290

4.5 解的正则性291

4.5.1 抛物型方程291

4.5.2 双曲型方程298

4.5.3 Schrodinger型方程302

习题4.5 303

4.6 强连续半群304

4.6.1 强连续半群的定义和基本性质305

4.6.2 Hille-Yosida定理309

4.6.3 摄动定理316

4.6.4 对初值问题的应用317

习题4.6 323

4.7 解析半群324

4.7.1 扇形算子和解析半群324

4.7.2 对初值问题的应用333

4.7.3 解的渐近性态341

习题4.7 344

4.8 发展型方程的半群方法345

4.8.1 抛物型方程345

4.8.2 双曲型方程347

4.8.3 Schrodinger型方程350

习题4.8 353

4.9 抛物型方程的Cμ理论和Lp理论353

4.9.1 R × Rn上各向异性的伸缩和相关问题354

4.9.2 R × Rn上各向异齐次的奇异积分算子和各向异性的Mihlin乘子357

4.9.3 热传导方程的先验估计363

4.9.4 抛物型方程的Cμ理论和Lp理论374

4.9.5 抛物型方程的极值原理379

习题4.9 381

4.10 热传导方程的初值问题382

习题4.10 394

4.11 波动方程的初值问题396

习题4.11 414

4.12 Schrodinger方程的初值问题414

习题4.12 421

第5章 线性偏微分方程的一般理论422

5.1 无解的线性偏微分方程422

习题5.1 432

5.2 可解的线性偏微分算子433

5.2.1 常系数偏微分算子的基本解433

5.2.2 常系数偏微分算子的强弱比较438

5.2.3 定强偏微分算子的局部可解性445

5.2.4 H主型算子的局部可解性448

5.2.5 NTEBF定理简介453

习题5.2 456

5.3 亚椭圆型偏微分算子457

习题53466

5.4 拟微分算子的基本概念467

5.4.1 拟微分算子的定义467

5.4.2 核函数471

5.4.3 恰当支拟微分算子477

5.4.4 符征的渐近展开479

习题5.4 485

5.5 拟微分算子的运算和性质485

5.5.1 转置、共轭和复合486

5.5.2 亚椭圆型算子的拟逆488

5.5.3 拟微分算子的Hs有界性491

5.5.4 Garding不等式494

习题5.5 496

5.6 微局部分析和奇性传播定理497

5.6.1 问题的提出497

5.6.2 波前集的定义与性质501

5.6.3 奇性传播定理508

习题5.6 516

5.7 高阶双曲型方程的初值问题517

习题5.7 527

5.8 高阶椭圆型方程的边值问题528

5.8.1 半空间上的Dirichlet边值问题528

5.8.2 有界区域上的Dirichlet边值问题539

习题5.8 546

参考文献547

索引552