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第1章 方程的导出及定解问题1

1.1方程的导出1

1.1.1波动方程的导出1

1.1.2热传导方程的导出4

1.1.3拉普拉斯（Laplace）方程的导出6

1.2定解条件7

1.2.1初始条件7

1.2.2边界条件8

1.3定解问题11

1.4线性偏微分方程的叠加原理与齐次化原理13

1.4.1线性偏微分方程的叠加原理14

1.4.2齐次化原理15

习题117

第2章 分离变量法19

2.1一维波动方程19

2.1.1第一类齐次边界条件19

2.1.2第二类齐次边界条件24

2.1.3解的物理意义27

2.2一维热传导方程29

2.2.1第一类齐次边界条件29

2.2.2第三类齐次边界条件30

2.3二维拉普拉斯方程35

2.3.1矩形区域35

2.3.2圆域37

2.4非齐次方程的解法41

2.4.1固有函数法41

2.4.2齐次化原理46

2.5非齐次边界条件的处理51

习题258

第3章 初值问题63

3.1一维波动方程的达朗贝尔（D’Alembert）公式63

3.1.1齐次方程的求解——达朗贝尔公式64

3.1.2半无限长弦的自由振动——反射波法69

3.1.3非齐次方程的求解70

3.2一维热传导方程的泊松（Poisson）公式73

3.2.1齐次方程的求解——泊松公式73

3.2.2半无限长细杆问题的求解77

3.2.3非齐次方程的求解80

3.3三维波动方程的泊松公式83

3.3.1三维波动方程的球对称解84

3.3.2三维波动方程的泊松公式85

3.3.3泊松公式的物理意义90

习题393

第4章 特殊函数96

4.1贝塞尔（Bessel）函数96

4.1.1贝塞尔方程的级数解96

4.1.2贝塞尔函数的性质100

4.1.3函数展开成贝塞尔函数的级数105

4.2勒让德（Legendre）函数110

4.2.1勒让德方程的级数解110

4.2.2勒让德多项式112

4.2.3函数展开成勒让德多项式的级数115

4.3特殊函数应用举例120

习题4129

第5章 积分变换法133

5.1傅里叶（Fourier）变换133

5.1.1傅里叶变换的定义133

5.1.2傅里叶变换的性质137

5.2拉普拉斯变换139

5.2.1拉普拉斯变换的定义139

5.2.2拉普拉斯变换的性质141

5.3积分变换在求解定解问题中的应用144

5.3.1用傅氏变换法求解定解问题145

5.3.2用拉氏变换法求解定解问题152

习题5158

第6章 格林函数法160

6.1 δ-函数160

6.2无界空间的格林（Green）函数——基本解164

6.2.1格林函数165

6.2.2拉普拉斯方程的基本解166

6.2.3 波动方程初值问题的基本解168

6.2.4热传导方程初值问题的基本解171

6.3非齐次方程的格林函数法172

6.3.1冲量定理法172

6.3.2非齐次方程的格林函数法176

6.4格林函数法用于求解拉普拉斯方程的狄里赫莱问题178

6.4.1格林公式179

6.4.2调和函数的性质180

6.4.3泊松方程边值问题的格林函数183

6.4.4几种特殊区域上的格林函数189

习题6197

第7章 差分法200

7.1基本概念200

7.1.1差商和差分方程200

7.1.2截断误差203

7.2位势方程定解问题的差分法205

7.2.1差分格式的建立205

7.2.2差分格式解的唯一性和收敛性208

7.2.3差分方程问题求解209

7.3热传导方程定解问题的差分法215

7.4波动方程定解问题的差分法217

习题7219

习题答案220

附录232

附录1 傅氏变换简表232

附录2 拉氏变换简表233