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第一章 实数的十进表示及运算1

1 比例数列的极限1

1.1 比例数的本原表示1

1.2 比例数列以及比例数列的极限2

习题1.18

2 实数的十进表示的定义，比例数的十进表示8

习题1.218

3 R中的算术运算及大小次序18

习题1.329

4 正数的开方运算以及幂运算29

4.1 开方运算29

4.2 幂运算32

4.3 幂函数和指数函数37

习题1.441

5 实数列与实数集的一些性质，一些练习41

习题1.551

6 非比例数比比例数多得多，基数的概念52

习题1.655

第二章 函数58

1 一元函数58

习题2.161

2 再谈指数函数62

习题2.269

3 n维Euclid空间Rn69

3.1 Euclid空间69

3.2 紧致性的概念75

3.3 Rn中的开集的结构80

习题2.382

4 多元函数83

习题2.491

第三章 微分学93

1 导数93

1.1 方向导数、导数93

1.2 一元情形96

1.3 可导的充分条件及求导算律110

1.4 高阶偏导数114

1.5 导数的几何意义——切线和切平面117

习题3.1118

2 Taylor公式和Taylor展开式121

2.1 Taylor公式121

2.2 一元初等函数的Taylor展开128

2.3 函数的局部极值131

习题3.2133

3 可微变换134

3.1 基本概念135

习题3.3.1138

3.2 可微变换的复合139

习题3.3.2143

3.3 逆变换144

习题3.3.3149

4 隐变换150

4.1 特殊情形150

4.2 一般情形154

习题3.4157

5 条件极值158

习题3.5163

6 几何应用163

6.1 曲线163

6.2 曲面167

习题3.6170

7 原函数171

习题3.7177

第四章 积分学179

1 测度179

1.1 外测度180

1.2 测度185

1.3 Borel集是可测集188

1.4 通过开集刻画可测集189

1.5 不可测集191

习题4.1191

2 可测函数194

2.1 基本概念194

2.2 可测函数的结构199

2.3 连续函数的延拓202

习题4.2205

3 积分的定义及基本理论207

3.1 积分的定义及基本性质207

3.2 积分号下取极限219

3.3 把多重积分化为累次积分224

3.4 积分的变量替换228

习题4.3242

4 几乎连续函数及其积分245

习题4.4251

5 微积分基本定理252

5.1 基本定理253

5.2 换元积分法255

5.3 分部积分法256

习题4.5261

第五章 积分学的应用（一）264

1 常见几何体的测度264

习题5.1269

2 用积分解决几何的和物理的问题的例子271

2.1 一个体积公式271

2.2 另一个体积公式273

2.3 力做的功275

2.4 功和能的联系275

2.5 液体在竖直面上的压力276

习题5.2277

3 积分号下取极限的定理应用于参变积分278

3.1 参变积分的一般性质278

3.2 具体的例280

3.3 广义参变积分的积分号下取极限283

3.4 几个判断广义参变积分一致收敛的例子292

习题5.3296

4 一类重要的参变积分——Euler积分298

习题5.4305

5 可积函数用紧支撑光滑函数近似306

习题5.5310

第六章 积分学的应用（二）——曲线和曲面上的第一型积分311

1 Rn的子空间中的测度311

1.1 Rn中平行2n面体的测度311

1.2 Rn的k（k＜n）维子空间中的平行2k面体的测度313

习题6.1317

2 曲线的长度及曲线的自然表示318

2.1 简单曲线及其长度318

2.2 简单曲线的自然表示，正则曲线321

2.3 正则曲线的切线、主法线及曲率323

习题6.2326

3 曲线上的测度及积分326

习题6.3331

4 Rn（n≥3）中的2维曲面上的测度和积分332

习题6.4340

5 Rn中的k维（1≤k＜n）曲面上的测度和积分341

习题6.5351

第七章 积分学的应用（三）——曲线和曲面上的第二型积分352

1 场的概念 数量场的梯度场352

习题7.1354

2 第二型曲线积分354

习题7.2362

3 沿曲线的Newton-Leibniz公式363

习题7.3365

4 R2中的Green公式368

习题7.4377

5 第二型曲面积分378

习题7.5388

6 Gauss公式向量场的散度389

6.1 Gauss公式389

6.2 Gauss公式是Green公式的推广393

6.3 Gauss积分398

6.4 立体角及相关的积分400

6.5 又一个Green公式404

6.6 向量场的散度406

习题7.6408

7 Stokes公式 旋度409

7.1 R3中的Stokes公式409

7.2 旋度413

习题7.7416

第八章 函数的级数展开418

1 收敛判别法418

习题8.1427

2 一致收敛428

习题8.2435

3 求和号下取极限436

习题8.3442

4 幂级数与Taylor展开443

4.1 一般性讨论443

习题8.4.1448

4.2 函数的Taylor展开449

习题8.4.2455

5 三角级数与Fourier展开456

5.1 三角级数457

5.2 Fourier级数459

5.3 Fourier部分和461

5.4 局部化原理462

5.5 一致收敛问题467

5.6 Fejér和474

5.7 涉及Fourier系数的定理477

习题8.5483

6 （选读）用代数多项式一致逼近连续函数487

习题8.6493

索引495