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第1章 引论1

1.1 关于各种解的一般知识2

1.1.1 例2

1.1.2 已给函数族的微分方程6

1.2 微分方程组9

1.2.1 微分方程组和单个的微分方程等价的问题9

1.2.2 常系数线性方程组的消去法11

1.2.3 适定的、超定的、欠定的方程组12

1.3 特殊微分方程的求积法14

1.3.1 分离变量法14

1.3.2 用叠加法构造更多的解．传热方程的基本解．Poisson积分16

1.4 两个自变量的一阶偏微分方程的几何解释．完全积分17

1.4.1 一阶偏微分方程的几何解释17

1.4.2 完全积分18

1.4.3 奇异积分20

1.4.4 例21

1.5 一阶线性和拟线性微分方程的理论22

1.5.1 线性微分方程22

1.5.2 拟线性微分方程24

1.6 Legendre变换25

1.6.1 对于二元函数的Legendre变换25

1.6.2 对于n元函数的Legendre变换27

1.6.3 Legendre变换在偏微分方程上的应用28

1.7 Cauchy和Kowalewsky存在定理31

1.7.1 引言和例31

1.7.2 化为拟线性微分方程组34

1.7.3 初始流形上的导数的确定法37

1.7.4 解析微分方程的解的存在性的证明38

1.7.5 关于线性微分方程的一件注意事项42

1.7.6 关于非解析微分方程的一个附注42

1.7.7 关于临界初始数据的几点注记．特征43

第1章附录Ⅰ 关于极小曲面的支持函数的Laplace微分方程45

第1章附录Ⅱ 一阶微分方程组和高阶微分方程组46

1″.1 启发性的话46

1″.2 两个一阶偏微分方程所成的组和一个二阶微分方程等价的条件46

第2章 一阶偏微分方程的一般理论49

2.1 两个自变量的拟线性微分方程的几何理论49

2.1.1 特征曲线49

2.1.2 初值问题50

2.1.3 例52

2.2 n个自变量的拟线性微分方程54

2.3 两个自变量的一般微分方程59

2.3.1 特征曲线和焦线．Monge锥59

2.3.2 初值问题的解62

2.3.3 特征作为分支元素．补充说明．积分劈锥面．焦散流形64

2.4 完全积分65

2.5 焦线和Monge方程66

2.6 例68

2.6.1 直光线的微分方程．(grad u)2=168

2.6.2 方程F(ux,uy)=070

2.6.3 Clairaut微分方程72

2.6.4 管状曲面的微分方程73

2.6.5 齐性关系式74

2.7 n个自变量的一般微分方程75

2.8 完全积分及Hamilton-Jacobi理论80

2.8.1 包络和特征曲线的造法80

2.8.2 特征微分方程的典范形式82

2.8.3 Hamilton-Jacobi理论83

2.8.4 例．二体问题85

2.8.5 例．椭球面上的短程线87

2.9 Hamilton-Jacobi理论及变分法88

2.9.1 典范形式的Euler微分方程89

2.9.2 短程距离或短时距及其导数．Hamilton-Jacobi偏微分方程90

2.9.3 齐次被积函数93

2.9.4 极值曲线场．Hamilton-Jacobi微分方程95

2.9.5 射线锥面．Huygens构造法98

2.9.6 短时距的表示式的Hilbert不变积分98

2.9.7 Hamilton-Jacobi定理99

2.10 典范变换和应用100

2.10.1 典范变换100

2.10.2 Hamilton-Jacobi定理的新证明101

2.10.3 常数的变易（典范扰动理论）102

第2章附录Ⅰ103

2′.1 特征流形的进一步讨论103

2′.1.1 关于在n维空间中求导的一些注释103

2′.1.2 初值问题．特征流形105

2′.2 具有相同主要部分的拟线性微分方程组．理论的新推演109

2′.3 Haar的唯一性的证明114

第2章附录Ⅱ 守恒定理的理论116

第3章 高阶微分方程121

3.1 两个自变量的二阶线性和拟线性微分算子的标准形式121

3.1.1 椭圆型、双曲型和抛物型的标准形式．混合型121

3.1.2 例126

3.1.3 两个自变量的二阶拟线性微分方程的标准形式128

3.1.4 例．极小曲面131

3.1.5 两个一阶微分方程的方程组133

3.2 一般的分类和特征133

3.2.1 记号134

3.2.2 两个自变量的一阶方程组．特征134

3.2.3 n个自变量的一阶方程组136

3.2.4 高阶微分方程．双曲性137

3.2.5 补注138

3.2.6 例．Maxwell方程和Dirac方程139

3.3 常系数线性微分方程142

3.3.1 二阶方程的分类和标准形143

3.3.2 二阶方程的基本解145

3.3.3 平面波148

3.3.4 平面波（续）．前进波．弥散149

3.3.5 例．电报方程．电缆中的无畸变波152

3.3.6 柱面波和球面波153

3.4 初值问题．波动方程的辐射问题155

3.4.1 热传导的初值问题．θ函数的变换156

3.4.2 波动方程的初值问题158

3.4.3 Duhamel原理．非齐次方程．推迟势159

3.4.3′ 一阶方程组Duhamel原理161

3.4.4 二维空间里的波动方程的初值问题．降维法162

3.4.5 辐射问题163

3.4.6 传播现象和Huygens原理164

3.5 用Fourier积分解初值问题166

3.5.1 Fourier积分的Cauchy方法166

3.5.2 例167

3.5.3 Cauchy方法的证明169

3.6 数学物理微分方程的曲型问题175

3.6.1 引言175

3.6.2 基本原理178

3.6.3 关于“不适定的”问题的注记181

3.6.4 关于线性问题的一般注记181

第3章附录Ⅰ183

3′.1 Sobolev引理183

3′.2 伴随算子184

3′.2.1 矩阵算子184

3′.2.2 伴随微分算子186

第3章附录Ⅱ Holmgren的唯一性定理188

第4章 势论及椭圆型微分方程190

4.1 基本概念190

4.1.1 Laplace方程．Poisson方程及有关方程190

4.1.2 质量分布的势194

4.1.3 Green公式和应用199

4.1.4 质量分布的势的导数204

4.2 Poisson积分及其应用205

4.2.1 边值问题及Green函数205

4.2.2 对于圆和球的Green函数．对于球和半空间的Poisson积分208

4.2.3 Poisson公式的一些推论211

4.3 平均值定理及其应用216

4.3.1 齐次的及非齐次的平均值方程216

4.3.2 平均值定理的逆定理218

4.3.3 对于空间分布的势的Poisson方程224

4.3.4 其他椭圆型微分方程的平均值定理225

4.4 边值问题228

4.4.1 准备知识．对边界值和区域的连续依赖性228

4.4.2 用Schwarz交替法求边值问题的解230

4.4.3 对于具有充分光滑边界的平面域的积分方程法234

4.4.4 关于边界值的注记237

4.4.4′ 容量和边界值的取得239

4.4.5 Perron的下调和函数法240

4.5 约化的波动方程．散射244

4.5.1 背景244

4.5.2 Sommerfeld的辐射条件246

4.5.3 散射249

4.6 更一般的椭圆型微分方程的边值问题．解的唯一性250

4.6.1 线性微分方程251

4.6.2 非线性方程252

4.6.3 关于Monge-Ampère微分方程的Rellich定理254

4.6.4 极大值原理及应用255

4.7 Schauder的先验估计及其应用259

4.7.1 Schauder的估计260

4.7.2 边值问题的解263

4.7.3 强闸函数及其应用267

4.7.4 L[u]=f的解的某些性质269

4.7.5 关于椭圆型方程的进一步的结果．在边界上的性态272

4.8 Beltrami方程的解274

4.9 关于一个特殊拟线性方程的边值问题．Leray和Schauder的不动点法280

4.10 用积分方程法解椭圆型微分方程284

4.10.1 特解的构造．基本解．参助函数285

4.10.2 附注288

第4章附录Ⅰ 非线性方程289

4′.1 扰动理论289

4′.2 方程△u=f(x,u)290

第4章附录Ⅱ 椭圆型偏微分方程理论的函数论观296

4″.1 准解析函数的定义296

4″.2 一个积分方程298

4″.3 相似性原理299

4″.4 相似性原理的应用302

4″.5 形式幂303

4″.6 准解析函数的微分与积分305

4″.7 例．混合型方程307

4″.8 准解析函数的一般定义309

4″.9 拟共形性和一个一般表示定理310

4″.10 一个非线性边值问题312

4″.11 Riemann映射定理的一个推广315

4″.12 关于极小曲面的两个定理315

4″.13 具有解析系数的方程316

4″.14 Privaloff的定理的证明317

4″.15 Schauder不动点定理的证明318

第5章 两个自变量的双曲型微分方程322

5.0 引言322

5.1 关于主要是二阶的微分方程的特征323

5.1.1 基本概念．拟线性方程323

5.1.2 积分曲面上的特征327

5.1.3 特征线是间断性的曲线、波前．间断性的传播328

5.1.4 一般的二阶微分方程330

5.1.5 高阶微分方程332

5.1.6 特征在点变换下的不变性333

5.1.7 化为一阶拟线性方程组334

5.2 一阶双曲型方程组的特征标准形式334

5.2.1 线性、半线性及拟线性方程组334

5.2.2 k=2的情形．用速矢端线变换法达到线性化337

5.3 在可压缩流体动力学上的应用338

5.3.1 一维等熵流338

5.3.2 球面对称流340

5.3.3 定常无旋流341

5.3.4 关于非等熵流的三个方程的组342

5.3.5 线性化的方程344

5.4 唯一性．依赖区域345

5.4.1 依赖区域、影响区域及决定区域345

5.4.2 对于二阶线性微分方程解的唯一性的证明347

5.4.3 对于一阶线性组的一般唯一性定理350

5.4.4 关于拟线性组的唯一性353

5.4.5 能量不等式354

5.5 解的Riemann表示354

5.5.1 初值问题354

5.5.2 Riemann函数355

5.5.3 Riemann函数的对称性358

5.5.4 Riemann函数及由一点发出的辐射．向高阶问题的推广359

5.5.5 例360

5.6 用迭代法解线性和半线性双曲型的初值问题364

5.6.1 二阶方程的解的构造364

5.6.2 对于一阶线性及半线性组的记号和结果366

5.6.3 解的构造368

5.6.4 附注．解对参数的依赖性371

5.6.5 混合初值及边值问题371

5.7 关于拟线性组的Cauchy问题375

5.8 对于单个的高阶双曲型微分方程的Cauchy问题377

5.8.1 化为一阶特征组378

5.8.2 L[u]的特征表示379

5.8.3 Gauchy问题的解381

5.8.4 其他解法．P.Ungar给出的一个定理382

5.8.5 附注383

5.9 解的间断性．激波384

5.9.1 广义解．弱解384

5.9.2 表现守恒定律的拟线性组的间断性．激波386

第5章附录Ⅰ 特征作为坐标的应用388

5′.1 关于一般二阶非线性方程的附注388

5′.1.1 拟线性微分方程388

5′.1.2 一般的非线性方程391

5′.2 Monge-Ampère方程的特殊性质392

5′.3 利用复数域由椭圆型转变为双曲型的情形395

5′.4 在椭圆型情形中解的解析性396

5′.4.1 函数论的注记396

5′.4.2 △u=f(x,y,u,p,q)的解的解析性397

5′.4.3 关于一般微分方程F(x,y,u,p,q,r,s,t)=0的注记400

5′.5 对于解的延拓使用复数量400

第5章附录Ⅱ 瞬态问题与Heaviside运算微积402

5″.1 用积分表示解瞬态问题402

5″.1.1 显例．波动方程402

5″.1.2 问题的一般性提法404

5″.1.3 Duhamel积分405

5″.1.4 实验解叠加法408

5″.2 Heaviside算子法409

5″.2.1 最简单的算子410

5″.2.2 算子实例及应用412

5″.2.3 应用于传热问题416

5″.2.4 波动方程418

5″.2.5 运算微积的理论根据．其他一些算子的解释419

5″.3 瞬态问题的一般理论424

5″.3.1 Laplace变换424

5″.3.2 用Laplace变换解瞬态问题426

5″.3.3 举例．波动方程与电报方程431

第6章 多于两个自变量的双曲型微分方程436

6.0 引言436

第一部分 解的唯一性、构造、几何性质437

6.1 二阶微分方程．特征的几何性质437

6.1.1 二阶拟线性微分方程437

6.1.2 线性微分方程440

6.1.3 射线或双特征441

6.1.4 特征曲面作为波前443

6.1.5 特征的不变性444

6.1.6 射线锥面．法锥面．射线劈锥面445

6.1.7 与Riemann尺度的联系446

6.1.8 对射变换448

6.1.9 Huygens的波前构图法449

6.1.10 类空间曲面．类时间方向450

6.2 二阶方程．特征的作用450

6.2.1 二阶间断性451

6.2.2 沿特征曲面的微分方程452

6.2.3 间断性沿射线的传播453

6.2.4 例证．三维空间里波动方程Cauchy问题的解454

6.3 高阶算子的特征流形的几何性质456

6.3.1 记号456

6.3.2 特征曲面．特征形．特征矩阵458

6.3.3 特征条件在时空中的解释．法锥面与法曲面．特征零化矢量与本征值459

6.3.4 特征曲面——波前的构造．射线、射线锥面、射线劈锥面461

6.3.5 波前与Huygens的构图法．射线曲面与法曲面463

6.3.6 不变性465

6.3.7 双曲性．类空间流形、类时间方向466

6.3.8 对称双曲型算子468

6.3.9 高阶对称双曲型方程469

6.3.10 多重特征曲面叶和可约化性470

6.3.11 关于双特征方向的引理471

6.3′ 例．流体动力学、晶体光学、磁流体动力学473

6.3′.1 引言473

6.3′.2 流体动力学微分方程组473

6.3′.3 晶体光学476

6.3′.4 法曲面和射线曲面的形状478

6.3′.5 晶体光学的Cauchy问题481

6.3′.6 磁流体动力学483

6.4 间断性的传播和Cauchy问题487

6.4.1 引言487

6.4.2 一阶方程组的一阶导数的间断性．输动方程487

6.4.3 初始值的间断性．理想函数的引入．前进波489

6.4.4 一阶方程组的间断性的传播492

6.4.5 重数不变的特征494

6.4.5′ 间断性沿高于一维的流形而传播的例子．锥形折射495

6.4.6 初始间断的分解和Cauchy问题的解496

6.4.6′ 特征曲面作为波前498

6.4.7 用收敛的波展开式解Cauchy问题498

6.4.8 二阶和高阶的方程组499

6.4.9 补注．弱解．激波501

6.5 振荡的初始值．解的渐近展开式．向几何光学的过渡501

6.5.1 前注．高阶前进波501

6.5.2 渐近解的构造502

6.5.3 几何光学505

6.6 初值问题的唯一性定理和依赖区域的例子507

6.6.1 波动方程507

6.6.2 微分方程utt-△u+λ/t ut=0（Darboux方程）509

6.6.3 真空中的Maxwell方程510

6.7 双曲型问题的依赖区域512

6.7.1 引言512

6.7.2 依赖区域的描述513

6.8 能量积分和一阶线性对称双曲型方程组的唯一性定理514

6.8.1 能量积分和Cauchy问题的唯一性514

6.8.2 一阶的和高阶的能量积分516

6.8.3 混合初边值问题的能量不等式517

6.8.4 对于单个二阶方程的能量积分520

6.9 高阶方程的能量估计522

6.9.1 引言522

6.9.2 关于高阶双曲型算子的解的能量恒等式和不等式．Leray与 G？rding的方法522

6.9.3 其他方法525

6.10 存在定理527

6.10.1 引言527

6.10.2 存在定理528

6.10.3 关于初始值性质的持久性和关于相应的半群的一些注记．Huygens小原理530

6.10.4 聚焦．可微性非持久的例子532

6.10.5 关于拟线性方程组的注记533

6.10.6 关于高阶方程或非对称方程组的注记533

第二部分 解的表示534

6.11 引言534

6.11.1 概述．记号534

6.11.2 一些积分公式．函数的平面波分解式535

6.12 常系数二阶方程539

6.12.1 Cauchy问题539

6.12.2 波动方程的解的构造540

6.12.3 降维法543

6.12.4 解的进一步的讨论Huygens原理544

6.12.5 非齐次方程．Duhamel积分547

6.12.6 一般二阶线性方程的Cauchy问题548

6.12.7 辐射问题550

6.13 球面平均法．波动方程与Darboux方程553

6.13.1 关于平均值的Darboux微分方程553

6.13.2 波动方程的联系555

6.13.3 波动方程的辐射问题557

6.13.4 广义前进球面波558

6.13′ 用球面平均法解弹性波的初值问题560

6.14 平面平均值法．对于一般常系数双曲型方程的应用564

6.14.1 一般方法564

6.14.2 在解波动方程上的应用567

6.14′ 在晶体光学方程和其他四阶方程上的应用569

6.14′.1 Cauchy问题的解569

6.14′.2 解的进一步的讨论．依赖区域．隙窝573

6.15 Cauchy问题的解作为数据的线性泛函．基本解576

6.15.1 说明．记号576

6.15.2 借助于δ函数的分解来构造辐射函数579

6.15.3 辐射矩阵的正则性581

6.15.3′ 广义Huygens原理582

6.15.4 例子．特殊的常系数线性方程组．隙窝定理583

6.15.5 例子．波动方程584

6.15.6 例子．关于单个二阶方程的Hadamard的理论587

6.15.7 进一步的例子．两个自变量．注记590

6.16 超双曲型微分方程和一般常系数二阶方程590

6.16.1 Asgeirsson的一般平均值定理590

6.16.2 平均值定理的别证593

6.16.3 在波动方程上的应用594

6.16.4 波动方程的特征初值问题的解594

6.16.5 其他应用．关于共焦椭球族的平均值定理596

6.17 对于非类空间初始流形的初值问题597

6.17.1 由中心在一个平面上的球上的平均值确定的函数598

6.17.2 在初值问题上的应用599

6.18 关于前进波的注记，信号的传播和Huygens原理603

6.18.1 无畸变前进波603

6.18.2 球面波605

6.18.3 辐射与Huygens原理606

第6章附录 广义函数——分布608

6′.1 基本定义和概念608

6′.1.1 引言608

6′.1.2 理想元608

6′.1.3 记号和定义609

6′.1.4 叠积分610

6′.1.5 线性泛函与算子——双一次型610

6′.1.6 泛函的连续性．试探函数的支集611

6′.1.7 关于r连续性的引理612

6′.1.8 几个辅助函数613

6′.1.9 例614

6′.2 广义函数614

6′.2.1 引言614

6′.2.2 用线性微分算子去定义615

6′2.3 用弱极限去定义617

6′.2.4 用线性泛函去定义618

6′.2.5 等价性．泛函的表示618

6′.2.6 几个结论620

6′.2.7 例子．δ函数620

6′2.8 广义函数与通常函数的等同622

6′.2.9 定积分．有限部分623

6′.3 广义函数的演算625

6′.3.1 线性运算626

6′.3.2 自变量的代换626

6′.3.3 例子．δ函数的变换627

6′3.4 广义函数的相乘与褶积628

6′.4 补注．理论的修饰629

6′.4.1 引言629

6′.4.2 试探函数的它种空间．空间？．Fourier变换629

6′.4.3 周期函数631

6′.4.4 广义函数与Hilbert空间．负范数．强定义632

6′.4.5 关于其他种类的广义函数的注记633

参考文献634

英汉名词对照表656