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第一章 引论1

1.1多元统计分析1

1.2多元正态分布2

1.3大维统计分析2

1.4大维随机矩阵的谱分析3

第二章 多元正态分布5

2.1引论5

2.2多元正态分布的定义6

2.2.1标准p元正态分布6

2.2.2一般p元正态分布的定义6

2.2.3多元正态分布的特征函数、矩母函数和密度7

2.2.4二元正态分布的密度公式7

2.2.5多元正态分布的相关系数和相关系数矩阵8

2.3多元正态分布的性质8

2.3.1多元正态分布族在线性变换下的性质8

2.3.2多元正态分布密度的等高线9

2.3.3正态随机变量线性组合的分布、独立性及边缘分布10

2.4条件分布和多重相关系数12

2.4.1条件分布12

2.4.2多重相关系数14

2.4.3偏相关的一些公式16

2.5多元正态分布的二次型及其独立性17

2.5.1二次型的矩和矩母函数18

2.5.2线性型、二次型相互独立的充要条件19

2.6复多元正态分布的定义及基本性质22

2.6.1复数运算的补充代数知识22

2.6.2复多元正态分布的定义和性质23

2.6.3极大似然估计24

2.7练习题25

第三章 均值向量与协方差矩阵的估计31

3.1引论31

3.2均值向量和协方差矩阵的极大似然估计32

3.3协方差矩阵已知时，样本均值向量的分布及统计推断36

3.3.1分布理论36

3.3.2协方差矩阵已知时，关于均值向量的检验和置信域37

3.3.3非中心化x2分布与功效函数40

3.4均值向量估计的性质41

3.4.1极大似然估计的性质41

3.4.2 Bayes与minmax估计43

3.5均值向量的改进估计45

3.5.1引论45

3.5.2 James-Stein估计量45

3.5.3协方差矩阵已知时任意二次损失函数下的估计48

3.6练习题51

第四章 样本相关系数的分布与应用57

4.1引论57

4.2二元样本相关系数58

4.2.1总体相关系数为零时样本相关系数的分布及不相关的假设检验58

4.2.2总体相关系数非零时样本相关系数的分布，假设检验和置信区间61

4.2.3样本相关系数与Fisher z的渐近分布66

4.3偏相关系数，条件分布69

4.3.1偏相关系数的估计69

4.3.2样本偏相关系数的分布73

4.3.3偏相关系数的假设检验和置信区间75

4.4多重相关系数75

4.4.1多重相关系数的估计75

4.4.2总体多重相关系数为零时样本多重相关系数的分布79

4.4.3总体多重相关系数非零时样本多重相关系数的分布82

4.4.4多重相关检验的某些最优性85

4.5多重相关系数的大维表现85

4.5.1大维情形下样本多重相关系数的极限86

4.5.2大维情形下多重相关系数的中心极限定理87

4.5.3大维情形下关于多重相关系数的假设检验与置信区间89

4.6练习题89

第五章T2统计量96

5.1引论96

5.2T2统计量的推导及其分布97

5.2.1T2统计量作为似然比准则函数的推导97

5.2.2T2统计量的分布98

5.3T2统计量的应用101

5.3.1检验单总体均值向量等于某个给定的向量101

5.3.2均值向量的置信域101

5.3.3均值向量的所有线性组合的一致置信区间102

5.3.4两样本问题103

5.3.5多个样本的问题103

5.3.6关于对称性的一个问题104

5.3.7改进的均值向量估计105

5.4T2在备择假设下的分布及势函数106

5.5协方差矩阵不等时的两样本问题108

5.6T2检验的一些最优性质111

5.6.1最优不变检验111

5.6.2可容许检验113

5.7大维情形下的均值检验问题117

5.7.1Dempster的非精确检验118

5.7.2白-Saranadasa的渐近正态检验121

5.7.3陈-秦改进的检验124

5.7.4模拟结果和评论129

5.8练习题131

第六章 判别分析136

6.1判别问题136

6.2判别的准则137

6.2.1初步考虑137

6.2.2两个总体的情形137

6.3概率分布已知的两个总体的判别方法139

6.3.1先验分布已知的情形139

6.3.2先验概率未知的情形140

6.4两个已知多元正态分布的判别141

6.5参数未知时两个正态总体的判别144

6.5.1判别准则144

6.5.2判别准则的分布145

6.5.3判别准则的渐近分布146

6.5.4判别准则的另外一种推导147

6.5.5似然比准则147

6.5.6不变性149

6.6错判概率150

6.6.1准则W的错判概率的渐近展开150

6.6.2准则Z的错判概率的渐近展开153

6.7多个总体的判别154

6.8多个多元正态分布的判别157

6.8.1基本理论157

6.8.2一个例子159

6.9两个已知的具有不同协方差矩阵的多元正态总体的判别161

6.9.1似然方法161

6.9.2线性方法162

6.10大维判别分析166

6.10.1A-准则与D-准则166

6.10.2两个正态总体时D-准则的错判概率167

6.10.3两个正态总体时A-准则的错判概率169

6.10.4A-准则与D-准则的比较与评论170

6.11练习题171

第七章 样本协方差矩阵的分布与广义方差174

7.1引论174

7.2Wishart分布175

7.3 Wishart分布的性质178

7.3.1 Wishart分布的特征函数178

7.3.2 Wishart矩阵的和178

7.3.3 Wishart矩阵的线性变换179

7.3.4 Wishart分布的边缘分布179

7.3.5条件分布180

7.4 Cochran定理180

7.5广义方差182

7.5.1广义方差的定义182

7.5.2样本广义方差的分布185

7.5.3样本广义方差的渐近分布187

7.6当总体协方差矩阵是对角矩阵时全体相关系数的分布187

7.7逆Wishart分布和协方差矩阵的Bayes估计189

7.7.1逆Wishart分布189

7.7.2协方差矩阵的Bayes估计189

7.8协方差矩阵的改良估计192

7.9非中心化Wishart分布196

7.10大维架构下样本广义方差的性质与统计推断200

7.10.1大维架构下样本广义方差的极限与中心极限定理200

7.10.2大维架构下关于广义方差的假设检验和区间估计202

7.11练习题204

第八章 一般线性假设的检验及方差分析209

8.1引论209

8.2多元线性回归的参数估计210

8.2.1极大似然估计，最小二乘估计210

8.2.2β和∑的分布212

8.3关于回归系数线性假设的似然比检验准则215

8.3.1似然比准则215

8.3.2几何解释216

8.3.3标准型218

8.4原假设下似然比准则的分布219

8.4.1分布的刻画219

8.4.2准则的矩222

8.4.3一些特殊情形下的分布224

8.4.4似然比方法226

8.4.5逐步检验方法227

8.5似然比准则分布的渐近展开228

8.5.1渐近展开的一般理论228

8.5.2似然比准则的渐近分布232

8.5.3正态逼近234

8.5.4 F逼近235

8.6线性假设检验的其他准则236

8.6.1相对特征根的函数236

8.6.2 Lawley-Hotelling的迹准则237

8.6.3 Bartlett-Nanda-Pillai的迹准则239

8.6.4 Roy的最大根准则240

8.6.5功效的比较241

8.7置信区间与回归系数矩阵的假设检验243

8.7.1假设检验243

8.7.2基于U的置信区间244

8.7.3基于Lawley-Hotelling迹的联立置信区间244

8.7.4基于Roy最大根准则的联立置信区间245

8.8对具有相同协方差矩阵的多个正态分布的均值相等的检验246

8.9多元方差分析249

8.10一些检验的最优性质254

8.10.1不变检验的可容许性254

8.10.2无偏检验和功效函数的单调性263

8.11大维回归分析267

8.11.1似然比准则的渐近分布267

8.11.2拟似然比准则的渐近分布的稳健性269

8.11.3基于最小二乘法的非精确检验270

8.11.4模拟比较271

8.12练习题273

第九章 分组变量的独立性检验280

9.1引言280

9.2分组变量独立性检验的似然比准则280

9.3原假设为真时似然比准则的分布284

9.3.1分布的刻画284

9.3.2准则函数的矩285

9.3.3某些特例下的分布286

9.3.4似然比准则的分布的渐近展开286

9.4其他检验方法288

9.4.1其他准则288

9.4.2按分块逐步下降检验289

9.4.3按照分量的逐步下降检验方法289

9.4.4一个例子291

9.5变量分为两个集合的情况292

9.6似然比检验的基本性质295

9.6.1容许性295

9.6.2势函数的单调性296

9.7大变量组独立性的检验298

9.7.1两组变量独立性检验在大维架构下的近似分布298

9.7.2多组变量独立性检验在大维架构下的近似分布300

9.7.3当变量个数接近于自由度时两大组变量的独立性检验301

9.7.4模拟检验302

9.8练习题306

第十章 均值和方差齐性的检验308

10.1引论308

10.2检验多个协方差矩阵相等的准则308

10.3检验多个正态总体同分布311

10.3.1检验的准则函数311

10.3.2准则函数的分布312

10.3.3准则函数的矩315

10.3.4逐步检验317

10.3.5准则分布的渐近展开318

10.4两个总体的情况321

10.4.1不变检验321

10.4.2方差分量模型323

10.5检验协方差矩阵与某个给定矩阵成比例及球形检验325

10.5.1假设325

10.5.2准则函数325

10.5.3准则函数的分布和矩327

10.5.4分布的渐近展开328

10.5.5不变检验328

10.5.6置信域329

10.6检验协方差矩阵等于某个给定矩阵330

10.6.1准则函数330

10.6.2修正似然比准则函数的分布和矩331

10.6.3不变检验333

10.6.4二次型的置信界333

10.7检验均值向量和协方差矩阵分别等于给定的向量和矩阵334

10.8可容许检验336

10.9均值向量协方差矩阵齐性的大维分析339

10.9.1检验一个总体协方差矩阵等于一个给定的矩阵的似然比检验的修正339

10.9.2检验两个总体协方差矩阵相等的似然比检验的修正340

10.9.3检验多个总体协方差矩阵相等的似然比检验的修正341

10.9.4检验多个正态总体分布相等的似然比检验的修正343

10.9.5当维容比靠近1时检验多个正态总体分布相等的修正似然比检验345

10.10练习题347

第十一章 主成分分析352

11.1引论352

11.2总体主成分的定义及性质353

11.2.1总体主成分的定义353

11.2.2主成分及其方差的极大似然估计355

11.2.3主成分的极大似然估计的计算356

11.2.4一个例子358

11.3统计推断360

11.3.1渐近分布360

11.3.2特征向量的置信域361

11.3.3特征根的精确置信界362

11.4关于协方差矩阵的特征根的假设检验363

11.4.1关于若干个最小特征根和的假设检验363

11.4.2关于最小特征根的和相对于所有特征根的和的假设检验364

11.4.3关于最小特征根相等的假设检验364

11.5大维主成分分析366

11.5.1离群特征根的极限367

11.5.2离群特征向量的极限369

11.5.3离群特征根的中心极限定理371

11.5.4本质离群特征根的估计和统计推断377

11.5.5待解决的问题379

11.6练习题379

第十二章 典则相关系数与典则变量382

12.1引论382

12.2总体典则相关系数与典则变量383

12.3典则相关系数与典则变量的估计388

12.3.1极大似然估计388

12.3.2计算方法390

12.4统计推断392

12.4.1独立性检验和秩检验392

12.4.2典则相关系数的渐近分布393

12.5例394

12.6与共线性相关的特征数值395

12.6.1回归矩阵的典则分析395

12.6.2估计398

12.6.3典则变量间的关系399

12.6.4回归系数矩阵秩的检验399

12.6.5线性泛函关系399

12.7降秩回归400

12.8联立方程模型403

12.8.1模型403

12.8.2特定零点的确认404

12.8.3简化形式的估计405

12.8.4方程系数的估计405

12.8.5与线性泛函的联系407

12.8.6 T→∞时的渐近理论408

12.9大维架构下的典则相关分析410

12.9.1关于特征根与特征向量的渐近分布的一般理论410

12.9.2变量组一大一小时的典则相关分析415

12.9.3未解决的问题420

12.10练习题421

第十三章 特征根与特征向量的分布423

13.1引论423

13.2两个Wishart矩阵的情形423

13.2.1矩阵分解423

13.2.2Jacobi行列式426

13.2.3矩阵E和特征根F的联合分布428

13.2.4A奇异时的分布429

13.3非奇异的Wishart矩阵430

13.4典则相关系数435

13.5Wishart矩阵与F矩阵的特征根与特征向量的渐近分布436

13.5.1总体特征根全不相同的情形436

13.5.2总体协方差矩阵有复重特征根的情形438

13.6两个Wishart矩阵情形下的渐近分布438

13.6.1非随机情形下相对特征根与特征向量的极限438

13.6.2一般场合下两个Wishart矩阵相对特征根与特征向量的极限分布440

13.7典则相关系数的渐近分布443

13.7.1两个变量集都是随机的情形443

13.7.2一个变量集随机而另一个变量集非随机的情形445

13.7.3降秩回归估计447

13.8练习题448

第十四章 因子分析450

14.1引论450

14.2因子分析模型451

14.2.1因子分析模型的定义451

14.2.2可识别性453

14.2.3测量的单位455

14.3随机正交因子的极大似然估计456

14.3.1极大似然估计456

14.3.2模型拟合假设检验459

14.3.3估计的渐近分布461

14.3.4最小距离方法461

14.3.5与主成分分析的关系462

14.3.6重心方法463

14.4固定因子的估计464

14.5因子的解释与变换464

14.5.1解释464

14.5.2变换464

14.5.3正交因子和斜交因子466

14.6以限定零元素为可识别性条件的参数估计467

14.7因子得分估计467

14.8练习题468

附录A矩阵知识470

A.1方阵的行列式及其性质470

A.1.1方阵的行列式的定义470

A.1.2方阵的行列式的性质471

A.2矩阵的特征根与特征向量471

A.2.1特征根与特征向量的定义471

A.2.2实对称矩阵472

A.2.3谱分解定理473

A.2.4奇异值分解定理474

A.2.5 Chosky分解定理475

A.2.6相对特征根与同时对角化问题476

A.3分块矩阵与向量477

A.3.1可逆矩阵的分块求逆477

A.3.2分块向量的二次型477

A.3.3对称矩阵相合下的标准型478

A.4矩阵拉长向量和矩阵的Kronecker乘积479

A.5关于向量或矩阵的导数480

A.6广义逆与投影矩阵481

A.6.1广义逆481

A.6.2投影矩阵482

A.7对称矩阵在相合变换下的Jacobi行列式483

A.8 一般矩阵在仿射变换下的Jacobi行列式485

附录B大维随机矩阵谱分析知识486

B.1经验谱分布与极限谱分布486

B.2随机矩阵极端特征根的极限492

B.2.1样本协方差矩阵最大最小特征根的极限492

B.2.2谱分离定理493

B.3线性谱统计量的中心极限定理495

B.3.1样本协方差矩阵的线性谱统计量的中心极限定理495

B.3.2F矩阵的线性谱统计量的中心极限定理496

B.3.3定理B.3.2的应用497

参考文献500

术语索引517

人名索引521